高中竞赛数学讲义第11讲极端原理

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1、.....第十一讲极端原理考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。A类例题例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(　　)(A)(B)(C)(D)(1994年全国高中联赛题)分析　利用图形的极端位置解题。解当正n棱锥的顶点S

2、向下无限趋近底面正n边形中心时,所求值趋于π；当S向上运动,趋向无穷远时,正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形的一个内角(即),故选A.例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。分析考虑无三人得分相同时的得分取值情况。解无三人得分相同的最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000。无三人得分相同的最高分值为：2×(1+2+…100)+0=10100。即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，…，10100。所以

3、（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。说明从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。情景再现1．已知长方形的4个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向入射到BC上的点P1后依次反射到CD、DA和AB上的点是P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0),若1

4、....(A)　　(B)(C)(D)(2003年全国高考题)2．已知A(2,3),B(-3,-2),若直线过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线的斜率k的取值范围为(　　)(A)k≥.(B)≤k≤2.(C)k≥2或k≤(D)k≤2.B类例题例3已知对任意正自然数n,不等式nlga<(n+1)lg(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.分析用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a>f(x)对任意x恒成立等价于a>max｛f(x)｝.解　当lga>0,即a>1时,则不等式对任意正自然数n恒成立,因为当n无限增大时,n无限接近于1,且<1,所以a>1;当lga<0

5、,即01.说明本题考虑了取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)=单调递增的性质。例4　已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过M(1-,0),N(1+,0),P(0,k)三点,若∠MPN是钝角,求a的取值范围.分析　若利用余弦定理,并由-1

6、,如图,由勾股定理不难得k=±1,∴当∠MPN为钝角时,点P在⊙O1内,由a>0知:点P应在y轴的负半轴上.把P(0,k)的坐标代入y=a(x-1+)(x-1-)得a=-k,因此,0

7、n,则平均值为,根据极端状态下的平均值与已知平均值的联系,显然有≤≤,从而69≤n≤70,即68≤n-1≤69.而n-1个整数的平均数是,所以n-1是17的倍数,故n-1=68,即n=69.最后,设擦去的数为x,则.∴x=7,即擦去的数是7.说明　本题用到等差数列前n项的和1+2+3+…+n=。例6若干只箱子的总重量为10吨，每一只箱子重量不超过1吨，问为了把这些箱子用载重3吨的卡车运走。（1）证明：有一个办法至多分5次就可以把这此批货物全部运完；（2）至少需要多少次一定可以把货物全部运完。分析把这此批货物全部运完需构造装货最多的极端情形，4次不一定能运完需

8、构造“最不利”的极端情形。解（1）先往车上尽量装货，