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《函数，数列，不等式复习指导论文资料--简析函数对称性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、简析函数对称性问题河北省隆尧县笫一中学焦景会055350函数图彖的对称性体现了数学对称美。函数图彖对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。木文从两方而探讨函数的对称性。命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=-―刈■称。2特别地，当a=-b时，函数y=f(・b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b対称。推论1、函数y=f(a+cox)与函数y=f(b-cox)的图彖关于直线x=-―对称2co证明：•/y=f(a+cox)=f［a)(x+—)］,y=f(h-cox)=一—)］coco所以，将
2、函数y=f(cvx)的图象向左平移fl个单位得y=f(a+cox)的图象將函CD数＞=/(—亦)的图彖向右平移上
3、个单位得函数y二f(b-cox)的图彖，而COy=f{cox)与〉，=/(_ox)的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线兀=匕£•对称。记忆技巧：令a+(ox=b-cox,易得兀=色二纟，即对称轴方程。2a)2co命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线兀二皿对称。反之亦然。2推论2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均冇f(a+mx)=f(b-mx),(
4、m丰0),则函数y=f(x)的图象关于直线x=°“对称。反Z亦然。命题3、若函数y=f(x)对定义域屮任意x均有f(x+a)+f(b・x)=c,贝ij函数y=f(x)的图象关丁•点(出,£)成中心对称图形。22下面举例说明其应用。［例1］函数y=f(x+l)与函数y=f(3-x)的图彖关于对称解：由命题1知，两函数图彖关于兀=匕=1,即关于直线x=l对称。2［例2］若方程f(3+2x)=0冇三个根，则方程f(l-2x)=0冇个根，两方程的所冇的根Z和为1-31解：设yl=/'(3+2x),y2=/(l-2x),由推广1知，两函数图象关于
5、兀=—=一一2x22对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(l-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为x6=-3.2［例3］函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)(1)若方程f(x)=0恰有2n(neN*)个根，则这些根的和为多少?(2)若方程恰2n+l(neAT)个根，则这些根的和为多少?解：由命题2知，尸f(x)图象关于兀=出对称。(1)若方程f(x)=O恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于X=乞乞对称，2/2所以，x御+x；=a+b=(a+b)=n(a+b)・(2)若方程f(x)=O恰有2n+l个根时
6、，则方程必有一根为兀=皿，另外2n个根在x2轴上对应点关于x=^-对称，故S2n+1=(72+-)X(a+/;)=(2z7+1)X(6Z+/?).1—Y[例4]函数f(x)=——,(1)证明函数的图象关于(・1厂1)对称。(2)求1+兀f(・4)+f(・3)+f(・2)++f(0)+f(l)+f(2)的值.1-Y21解：因为f(x)=——=-1+——,l]f(x)=—的对称中心(0,0),平移可得1+X兀+1X1—Xf(x)=—一对称中心(-1,-1),由命题3知,f(x)+f(-x-2)=-2,1+x则f(・4)+f(・3)+f(・
7、2)卄f(0)+fi[l)+f(2)=3x[/(-2)+/(0)]=3x(-2)=-6.补充，供参考1、函数自身对称性命题1函数＞'=/(%)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)0证明(略)推论函数y=/(兀)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)o命题2函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是/(兀)+f(2a-x)=2b证明(略)推论函数y=/(兀)的图像关于原点0对称的充要条件是/(兀)+/(-X)=0偶函数、奇函数分别是命题1,命题2的特例。命题3(
8、1)若函数y=/(兀)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a$b),则y=/(x)是周期函数,H2a-b是其一个周期。证明：函数y=/(X)的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称，则f(2a+x)+f(-x)=2c,/(2/?-x)+/(x)=2c,所以/[2(a-b)+x]=f([2a+(-2b+x)]=2c-f[-(-2b+x)]=2c-f(2b-x)=2c-[2c-f(x)]=f(x),所以2a-b是它的一个周期。(2)、若一个函数的图象冇两条不同的对称轴，分别为x二m,x二n,那么这个
9、函数是周期函数。证：因为函数的对称轴为x=m,x=n(m^n),贝I」f(m+x)=/(m-x)(1),f(n+x)=f(n-x)(2),分别将x=m-x,x=n-x代入仃)(2),贝I」有f(2m-x)=
