简析函数对称性问题

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1、简析函数对称性问题河北省隆尧县第一中学焦景会055350函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线对称。特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。推论1、函数与函数的图象关于直线对称证明：,所以，将函数的图象向左平移个单位得的图象;将函数的图象向右平移个单位得函数的图象,而与的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线对称。记忆

2、技巧：令，易得，即对称轴方程。命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。反之亦然。推论2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。反之亦然。命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点成中心对称图形。下面举例说明其应用。[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称解：由命题1知

3、，两函数图象关于,即关于直线x=1对称。[例2]若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设,由推广1知，两函数图象关于对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为.[例3]函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n()个根，则这些根的和为多少？（1）若方程恰2n+1()个根，则这些根的和为多少？解：由命题2知，y=f(x)图象关于对称。（1）若方程f(x)=0

4、恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于对称，所以，,故.（2）若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为，另外2n个根在x轴上对应点关于对称，故.[例4]函数，（1）证明函数的图象关于(-1,-1)对称。（2）求f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值.解：因为，由的对称中心（0，0），平移可得对称中心(-1,-1)，由命题3知，f(x)+f(-x-2)=-2,则f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=.补充，供参考1、函数自身对称性命题1

5、函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是或。证明（略）推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是。命题2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是证明（略）推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。命题3（1）若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则，，所以，所以是它的一个周期。（2）、若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是

6、周期函数。证：因为函数的对称轴为x=m，x=n(m≠n)，则(1)，(2)，分别将x=m-x，x=n-x代入(1)(2)，则有，，则，所以是周期函数，周期为2(m-n)。（3）若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以代得：又因为函数的图像关于直线成轴对称，所以代入（*）得：得代入（**）得：是周期函数，且是其一个周期。2.不同函数对称性命题4函数的图像关于点成中心对称。证明：设点图像上任一点，则。点关于

7、点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。推论函数与的图像关于原点成中心对称。命题5函数与的图像关于直线成轴对称。证明设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。推论函数与的图像关于直线y轴对称。命题6①函数与的图像关于直线成轴对称。②函数与的图像关于直线成轴对称。现证命题6中的②设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以代入之中得。所以点在函数的图像上。同理可证：函数的图像上任一点关于直线的

8、轴对称点也在函数的图像上。故命题6中的②成立。推论函数的图像与的图像关于直线成轴对称。