浅谈从平面到空间的类比推理

《浅谈从平面到空间的类比推理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈从平面到空间的类比推理浅谈从平面到空间的类比推理广东广雅中学(广州,510160)徐广华类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过:”即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比.”类比推理就是在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似点Z后,推测在其他方面也可以存在相同或相似Z处的一种推理模式•从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大.类比推理一般具有如下三个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比岀新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；⑶类比的结果

2、是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明,但它却有探索，发现的功能，有助于我们揭示自然界的奥秘.类比推理的一般步骤是：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对彖的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象，概括岀一个猜想；(3)检验猜想.近几年来,在全国各地的模拟试题和高考试题中，陆续岀现了从平而到空间的类比推理题，这些题目立意新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只需要猜想出正确的结论即可,旨在考查学牛观察一分析一比较一联想一类比一猜想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几种类型：，平面几何定理类比到立体几何定

3、理平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去•数学家波利亚曾指出:”类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何屮的类比问题类比方法:”直线”类比为”平面T角”类比为”二面角”，”角的两边“类比为”二面角的两个面”等.例1对于平面儿何中的命题:”如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补.”在立体几何屮,类比上述命题，可以得到命题：”其真假性是.解析:答案不唯一，可以是：①如果一个角的两边与一个二面角的两个面分别对应垂直，那么这个角与二面角的平面角相等或互补•这个命题是真命题；《中学数学研究》编辑委员会名誉主编:柳柏濂顾

4、问：（以姓氏笔划为序）王林全，张谋成，柳柏濂社长:丁吋进主编:林长好副主编:何小亚,吴有昌发行主管:吴有昌(兼)编委:(以姓氏笔划为序)尤利华，邓春源,叶远灵，刘名生,吕伟泉，朱全新,孙道椿，苏洪雨,李健全，吴有昌,吴跃忠，何小亚,陈奇斌，陈小山，林长好，林少杰，姚静，袁汉辉，耿堤，徐志庭,章绍辉2008年第10期中学数学研究②如果两个二面角的两个面分别对应垂直，那么这两个平面的二面角相等或互补.这个命题是假命题.我们所熟悉的从平面儿何定理到立体儿何定理还有不少类比的实例，例如：(1)平几:平行于同一直线的两直线平行；立几:平行于同一平面的两平面平行.(2)平几:垂直

5、于同一直线的两直线平行；立儿:垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同直线的两平面平行.(3)平几:如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直；立儿:如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平而，那么它也和另一个平而垂直；如果一个平面垂直于两平行平面屮的一个平面，那么它也和另一个平面垂直.(4)平几:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补；立几:如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补.二，平面几何图形类比到空间几何体点，线，而是构成空间几何体的基本元素，构成几何体离不开平面图形，有不少

6、几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空间儿何体中去.（一）平而中的三角形类比到空间中的三棱锥三棱锥也叫四面体,其四个面都是三角形，这意味着三角形的某些性质可以类比推广到三棱锥.1•直角三角形类比到直角三棱锥三个侧面两两垂直的三棱锥叫直角三棱锥，也叫直角四而体•显然直角三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此其三个侧面都是直角三角形，从而直角三角形的某些性质可类比到直角三棱锥.类比方法1:”直角三角形的直角边长，斜边长”类比为”直角三棱锥的侧面积，底面积”.例2（2003广东卷）在平而几何里，有勾股定理:”设

7、AABC的两边AB,AC互相垂直，则AB+AC.BC”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是:”设三棱锥A—BCD的三个侧而ABC,ACD,ADB两两相互垂直，则.解析:推知答案应填:st胧+JS8+S加二5脚.变式:在AABC中,AB上AC,AD上BC,D为垂足，则AB二BD?BC（射影定理）•类似地,三棱锥BCD中,ADJ_平面ABC,AO上平面BCD,0为垂足，且0在ABCD内，则S△胱,SAUTD,5ABcD三者之间满足关系式.分析:不难推知答案应填:s=S删.SBcD.类比方法2:”