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时间:2019-11-18
《2019高考数学二轮复习 专题五 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系学案 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二讲 点、直线、平面之间的位置关系考点一 空间线面位置关系的判断1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b,⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b,⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α,⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n,⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α,⇒a∥b.(3)面
2、面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α,⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l,⇒a⊥β.[对点训练]1.(2018·安徽黄山二模)下列说法中,错误的是( )A.若平面α∥平面β,平面α∩平面γ=l,平面β∩平面γ=m,则l∥mB.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βC.若直线l⊥平面α,平面α⊥平面β,则l∥βD.若直线l∥平面α,平面α∩平面β=m,直线l⊂平面β,则l∥m[解析] 对于A,由面面平行的性质定理可知为真命题,故A正确;对于B,由面面垂直的性质定理可知为真命题,故B
3、正确;对于C,若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,故C错误;对于D,由线面平行的性质定理可知为真命题,故D正确.综上,选C.[答案] C2.(2018·湖北重点中学联考)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A.l1⊥m,l1⊥nB.m⊥l1,m⊥l2C.m⊥l1,n⊥l2D.m∥n,l1⊥n[解析] 由m⊥l1,m⊥l2及已知条件可得m⊥β,又m⊂α,所以α⊥β;反之,α⊥β时未必有m⊥l1,m⊥l2,故“m⊥l1,m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件,其余选项均推
4、不出α⊥β,故选B.[答案] B3.(2018·潍坊模拟)已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,以下四个命题:①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;③若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1[解析] 若m∥α,n∥β,且α∥β,则m,n可能平行、相交或异面,①错误;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又n∥β,则m⊥n,②正确;若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m∥α,则m,n可能平行、相交或异面,③
5、错误;若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,则m⊥n,④正确,综上正确命题的个数是2,故选C.[答案] C4.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B分别为正方体的两个顶点,M,N,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )[解析] 对于选项B,AB∥MQ;对于选项C,AB∥MQ;对于选项D,AB∥NQ.只有选项A中AB与平面MNQ不平行.故选A.[答案] A[快速审题] 看到线面关系的判断,想到空间中点、线、面的位置关系,想到具体的实物代表的线、面或长方体模型. 空间线面位置
6、关系判定的三种方法(1)定理法:借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.(2)模型法:借助空间几何模型,如在长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,结合有关定理作出选择.(3)反证法:当从正面较难入手时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.考点二 空间中平行、垂直关系的证明 平行关系及垂直关系的转化[证明] (1)如图所示,连接AB1交A1B于E,连接ED.∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,且AB=BB1,∴侧面ABB1A1是正方形,∴E是AB1的中点,又已知D为AC的中点,∴在△AB1C
7、中,ED是中位线,∴B1C∥ED,又B1C⊄平面A1BD,ED⊂平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC1⊥平面A1BD.∴AC1⊥A1B.∵侧面ABB1A1是正方形,∴A1B⊥AB1.又AC1∩AB1=A,∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1.又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥B1C1,又BB1∩A1B=B,∴B1C1⊥平面ABB1A1.[探究追问] 在本例(2)的条件下,设AB=1,求三棱锥B-A1C1D的体积.[解] ∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面DC1A1.∴BD是三棱锥B
8、-A1C1D的高.由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1,∵B1C1∥BC,∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB⊂平面ABB1A1,∴BC⊥AB,∴△ABC是等腰直角三角形,又∵AB=BC=1,∴BD=,∴AC=
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