江苏专用版2018-2019学年高中数学4.2.2第1课时直线和圆的极坐标方程学案苏教版选修

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1、第1课时　直线和圆的极坐标方程1．会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程．2．进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．3．进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美．[基础·初探]1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且直线l的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几种常见直线的极坐标方程：图4212．圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几种常见圆的极坐标方程图4

2、22[思考·探究]1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】　求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】　(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总

3、要用ρ去乘方程的两端．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：____________________________________

4、_________________求直线的极坐标方程　求：(1)过A且平行于极轴的直线；(2)过A且和极轴成的直线．【自主解答】　(1)如图1所示，在所求直线上任意取点M(ρ，θ)，过M作MH⊥Ox于H，连OM.∵A，∴MH＝2·sin＝，在Rt△OMH中，MH＝OMsinθ，即ρsinθ＝，所以，过A平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝.图1　　　　　　　　　图2(2)如图2所示，在所求直线上任取一点M(ρ，θ)，∵A，∴OA＝3，∠AOB＝，由已知∠ABx＝，所以∠OAB＝－＝，∴∠OAM＝π－＝.又∠

5、OMA＝∠MBx－θ＝－θ，在△MOA中，根据正弦定理得＝.∵sin＝sin＝.将sin展开，化简上面的方程，可得ρ(cosθ＋sinθ)＝＋.所以，过A且和极轴成的直线方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝＋.[再练一题]1．设P，直线l过P点且倾斜角为，求直线l的极坐标方程．【导学号：98990012】【解】　如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线l上除P点外的任意一点，极点为O，连接OM，OP，该直线交Ox于点A，则有OM＝ρ，OP＝2，∠MOP＝

6、θ－

7、，∠OPM＝，所以OMcos∠MOP＝OP，即ρ

8、cos

9、θ－

10、＝2，即ρcos(θ－)＝2，显然点P也在这条直线上．故所求直线的极坐标方程为ρcos(θ－)＝2.求圆的极坐标方程　(1)求以B为圆心，3为半径的圆．(2)求以极点和点N所连线段为直径的圆的极坐标方程．【自主解答】　(1)∵圆心为B(3，)，半径为3.∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sinθ.(2)如图，设M(ρ，θ)为圆上任一点，则有ONcos∠NOM＝OM，即ρ＝2cos就是所求圆的极坐标方程．[再练一题]2．求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．【解】　如图所示，由题设可知

11、，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP，PA，在Rt△OPA中，OA＝8，OP＝ρ，∠AOP＝θ，∴OA·cosθ＝ρ，即8cosθ＝ρ，即ρ＝8cosθ就是圆C的极坐标方程.极坐标的应用　在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．【思路探究】　将圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0化为普通方程后求解．【自主解答】　∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，圆的普通方程为：x2＋

12、y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的普通方程为：3x＋4y＋a＝0，又∵圆与直线相切，∴＝1，解得：a＝2，或a＝－8.理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲线的极坐标方程．[再练一题]3．已知圆C1：ρ＝2cosθ，圆C2：ρ2－2ρsinθ＋2＝0，试判断这两个圆的位置关系．【解】　法一　圆C1是圆心C1(1,0)，半径r1＝1的圆．化圆C2为极坐标系下圆