2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第8讲 解三角形的应用举例分层演练 文

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1、第8讲解三角形的应用举例1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　　　　　　B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)A．10kmB．10kmC．10kmD．10km解析：选

2、D.如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，所以AC＝10(km)．3.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选B．依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝

3、0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为(　　)A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h解析：选B．设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前

4、进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A．50mB．100mC．120mD．150m解析：选A．设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔

5、在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．答案：7.(2019·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，所以AB＝1000，所以BC＝＝1000.答案：

6、10008．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案：109.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的

7、速度；(2)求sinα的值．解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sinα＝＝＝.10．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．解：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别

8、是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所