【三维设计】2014届高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）双曲线教学案

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1、双_曲_线[知识能否忆起]1．双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

4、A1A2

5、＝2a；线段B1

6、B2叫做双曲线的虚轴，它的长

7、B1B2

8、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　∵双曲线方程可化为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.∴左焦点坐标为.2．(教材习题改编)若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为(　　)A.B.C.D．2解析：选C　依题意得a2＋1＝4，a2＝3，故e＝＝＝

9、.3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3

10、PF1

11、＝4

12、PF2

13、，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4B．8C．24D．48解析：选C　由P是双曲线上的一点和3

14、PF1

15、＝4

16、PF2

17、可知，

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝2，解得

22、PF1

23、＝8，

24、PF2

25、＝6.又

26、F1F2

27、＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.4．双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知＝＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.答案：y＝±

28、x5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足

29、MF1

30、－

31、MF2

32、＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则

33、k

34、·e＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝＝，

35、k

36、＝.∴

37、k

38、·e＝×＝.答案：1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．2．渐近线与离心率：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线

39、张口的大小．[注意]　当a>b>0时，双曲线的离心率满足10时，e＝(亦称为等轴双曲线)；当b>a>0时，e>.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．双曲线的定义及标准方程典题导入[例1]　(1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)A.－＝1　　　　　B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P

40、为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则

41、PF1

42、＋

43、PF2

44、的值为________．[自主解答]　(1)∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝

45、PF1

46、2＋

47、PF2

48、2，又因为

49、PF1

50、－

51、PF2

52、＝2，所以(

53、PF1

54、－

55、PF2

56、)2＝4，可得2

57、PF1

58、·

59、PF2

60、＝4，则(

61、PF1

62、＋

63、PF2

64、)2＝

65、PF1

66、2＋

67、PF2

68、2＋2

69、PF1

70、·

71、PF2

72、＝12，所以

73、PF1

74、＋

75、PF2

76、＝2.[答案]　(1)

77、A　(2)2由题悟法1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．(2)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．以题试