2019高考数学 考点突破——圆锥曲线：抛物线学案

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1、抛物线【考点梳理】1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径

2、PF

3、x0＋－x0＋y0＋－y0＋

4、【考点突破】考点一、抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，

5、AF

6、＝x0，则x0＝(　　)A．1　B．2C．4D．8(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则

7、PA

8、＋

9、PF

10、取最小值时点P的坐标为________.[答案](1)A(2)(2，2)[解析](1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝

11、AF

12、.从而x0＋＝x0

13、，解得x0＝1.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知

14、PA

15、＋

16、PF

17、＝

18、PA

19、＋d，当PA⊥l时，

20、PA

21、＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).【类题通法】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得

22、PF

23、＝x0

24、＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

25、AB

26、＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．【对点训练】1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

27、PQ

28、＝(　　)A．9B．8C．7D．6[答案]B[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

29、PQ

30、＝

31、PF

32、＋

33、QF

34、＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.2．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A

35、(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________．[答案][解析]如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．连接AF交抛物线于点P，此时最小值为

36、AF

37、＝＝.考点二、抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝y　　　　　

38、B．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36y(2)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)A．B．C．D．[答案](1)D(2)D[解析](1)将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.(2)由抛物线C1：y＝x2(p>0)得x2＝2py(p>0)

39、，所以抛物线的焦点坐标为.由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2.所以双曲线的右焦点为(2，0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为＝.即px＋4y－2p＝0.①设M(x0>0)，则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知＝，解得x0＝p，所以M，把M点的坐标代入①得＋p－2p＝0.解得p＝.【类题通法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质

40、有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【对点训练】1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．[答案]x＝－2[解析]由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y2＝2px的焦点为.依题意，得＝2，于是抛物线的准线x＝－