2019高考数学考点突破——圆锥曲线：双曲线学案

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1、双曲线【考点梳理】1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<

13、F1F2

14、时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝

15、F1F2

16、时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>

17、F1F2

18、时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－

19、a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.【考点突破】考点一、双曲线的定义及应用【例1】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________

20、___.(2)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若

21、PF1

22、＝7

23、PF2

24、，则△F1PF2的面积为(　　)A．48B．24C．12D．6[答案](1)x2－＝1(x≤－1)(2)B[解析](1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得

25、MC1

26、－

27、AC1

28、＝

29、MA

30、，

31、MC2

32、－

33、BC2

34、＝

35、MB

36、，因为

37、MA

38、＝

39、MB

40、，所以

41、MC1

42、－

43、AC1

44、＝

45、MC2

46、－

47、BC2

48、，即

49、MC2

50、－

51、MC1

52、＝

53、BC2

54、－

55、AC1

56、＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且

57、小于

58、C1C2

59、＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).(2)由双曲线的定义可得

60、PF1

61、－

62、PF2

63、＝

64、PF2

65、＝2a＝2，解得

66、PF2

67、＝6，故

68、PF1

69、＝8，又

70、F1F2

71、＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝

72、PF1

73、×

74、PF2

75、＝24.【类题通法】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之

76、差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将

77、

78、PF1

79、－

80、PF2

81、

82、＝2a平方，建立

83、PF1

84、·

85、PF2

86、间的联系．【对点训练】1．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若

87、F1A

88、＝2

89、F2A

90、，则cos∠AF2F1＝(　　)7A．B．C．D．[答案]A[解析]由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得

91、F1A

92、－

93、F2A

94、＝2a.又

95、F1A

96、＝2

97、F2A

98、，故

99、F1A

100、＝4a，

101、

102、F2A

103、＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

104、PF1

105、＝9，则

106、PF2

107、等于________.[答案]17[解析]由题意知

108、PF1

109、＝9

110、PF2

111、－

112、PF1

113、＝2a＝8，故

114、PF2

115、＝

116、PF1

117、＋8＝17.考点二、双曲线的标准方程【例2】(1)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________.(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近

118、线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)A．－y2＝1B．x2－＝1C．－＝1D．－＝1[答案](1)－＝1(2)A[解析](1)法一椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据定义知2a＝

119、－

120、＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，7故所求双曲线的方程为－＝1.法二椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，又点(，4)在双曲线上，所以－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.法三设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)

121、，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为－＝1.(2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，