2018年秋高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用学案 新人教A版必修5

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1、第2课时　等比数列前n项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．[自主预习·探新知]1．等比数列前n项和的变式当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考：在数列{an}中，an＋1

2、＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？[提示]　由题{an}是等比数列，∴3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，∴k＝－.2．等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？[提示]　S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，

3、∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.[基础自测]1．思考辨析(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.(　　)(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.(　　)(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．(　　)(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　提示：(1)＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(

4、4)错误．2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________.2　[q3＝＝＝8，所以q＝2.]3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.【导学号：91432227】(－2)n－1　[当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2，所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21

5、，则a5＋b5＝________.35　[设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35，即a5＋b5＝35.][合作探究·攻重难]等比数列前n项和公式的函数特征应用　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　)【导学号：91432228】A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列B　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n

6、∈N*.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．][规律方法]　（1）)已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.（2）若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.[跟踪训练]1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－　[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]等比数列前n项和性质的应用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S

7、2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？提示：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列