(通用版)2019版高考数学二轮复习 专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质 理(普通生,含解析)

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1、专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质A组——“6+3+3”考点落实练一、选择题1.(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )A.          B.C.D.解析:选C ∵a2=4+22=8,∴a=2,∴e===.2.一个焦点为(,0)且与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程是(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:选B 设所求双曲线方程为-=t(t≠0),因为一个焦点为(,0),所以

2、13t

3、=26.又焦点在x轴上,所以t=-2,即双曲线方程为-=1.3.若

4、抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为(  )A.B.1C.D.2解析:选B 设P(x0,y0),依题意可得

5、PF

6、=x0+1=2,解得x0=1,故y=4×1,解得y0=±2,不妨取P(1,2),则△OFP的面积为×1×2=1.4.(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )A.B.2C.D.2解析:选D ∵e===,∴=1.∴双曲线的渐近线方程为x±y=0.∴点(4,0)到C的渐近线的距离d==2.5.已知双

7、曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且

8、AF1

9、=

10、BF1

11、,则

12、AB

13、=(  )A.2B.3C.4D.2+1解析:选C 设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得

14、AF2

15、-

16、AF1

17、=2a=2,

18、BF1

19、-

20、BF2

21、=2a=2,又

22、AF1

23、=

24、BF1

25、,故

26、AF2

27、-

28、BF2

29、=4,又

30、AB

31、=

32、AF2

33、-

34、BF2

35、,故

36、AB

37、=4.6.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1

38、=60°,则C的离心率为(  )A.1-B.2-C.D.-1解析:选D 在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,不妨设椭圆焦点在x轴上,且焦距

39、F1F2

40、=2,则

41、PF2

42、=1,

43、PF1

44、=,由椭圆的定义可知,方程+=1中,2a=1+,2c=2,得a=,c=1,所以离心率e===-1.二、填空题7.已知双曲线-y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,则其焦距为________.解析:由渐近线方程y=±x,可得=,解得a=,故c==2,故焦距为4.答案:48.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l

45、与C交于A,B两点,

46、AB

47、为C的实轴长的2倍,则C的离心率为________.解析:设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由题意可知,直线l过焦点,且垂直于x轴,将x=c代入双曲线方程,解得y=±,则

48、AB

49、=,由

50、AB

51、=2×2a,则b2=2a2,所以双曲线的离心率e===.答案:9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为(1,1),则直线l的方程为________.解析:依题意易得抛物线的方程为y2=4x,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为线段M

52、N的中点为(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,则x1≠x2,由两式相减得y-y=4(x1-x2),所以==2,故直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.答案:2x-y-1=0三、解答题10.(2018·石家庄模拟)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=2,故直线AB的斜率k

53、===1.(2)由y=,得y′=x.设M(x3,y3),由题设知x3=1,于是M.设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(1,1+m),

54、MN

55、=.将y=x+m代入y=,得x2-2x-2m=0.由Δ=4+8m>0,得m>-,x1,2=1±.从而

56、AB

57、=

58、x1-x2

59、=2.由题设知

60、AB

61、=2

62、MN

63、,即=,解得m=,所以直线AB的方程为y=x+.11.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,

64、AB

65、=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,

66、B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以

67、AB

68、=

69、AF

70、+

71、BF

72、=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=1或k=-1(舍去).因此

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