用比较法证明不等式·教案

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1、用比较法证明不等式·教案 北京二十五中 冯睿 教学目标1．理解，掌握比较法证明不等式．2．培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力．3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）．教学重点与难点求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．教学过程设计（一）不等式证明的含义师：前面我们已经学习了不等式性质．今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明．什么是不等式证明呢？（板书）1．什么是不等式证明我们通过具体题说明．例1 求证：（2x+1）（3x-2）＞（5

2、x＋9）（x-2）．这道题含量是什么？（学生迟疑，教师给以启发）师：同学们可以想一想恒等式证明的含义．生：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立．（二）引入比较法证明不等式，理解、认识比较法师：很好，那么如何证明这个不等式呢？（让学生稍作思考）生：求差．（学生口述，教师板书）证明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，则（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）．师：怎么想到“求差”的呢？生：以前比较两个实数大小时曾经用过这种方法．（学生回答虽较为肤

3、浅，但教师仍应鼓励并进一步引导学生思考）师：在这里用“求差”有什么好处？（学生思考片刻回答）生：直接证这个不等式有困难，转化为一个一般式子与0比大小比较容易证明．师：是的，在这里，通过“求差”将不等问题转化为恒等问题；将二个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．这种证明的依据又是什么呢？生：依据是a-b＞0a＞b，所以要证a＞b，只要证a-b＞0．师：这种证明的理论依据是a-b＞0a＞b，由a-b＞0来推a＞b是证明不等式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法不妨称作求差比较法．（板书）2．不等式证明的常用方法（1

4、）比较法（求差比较法）（三）在求差比较法中，求差后对“差式”适当变形并判断符号的方法师：下面我们将通过例题来归纳、总结求差比较法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．例2 求证：x2＋3＞3x．（学生口述解题过程，教师板书）师：求差后，进行等价变形时用的什么方法？生：配方法．师：为什么用配方法？生：因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法．例3 已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥

5、a3b2＋a2b3．师：这道题含义是什么？生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立．师：请同学们考虑如何用比较法证明．（学生口述，教师板书）证明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈R＋，则a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0．因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．师：这

6、道题是用什么方法对差式进行等价变形．生：对差式进行因式分解．师：这样变形的目的是什么？生：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，b∈R+范围内每个因式符号．师：这道题含义是什么？生：对任意实数x，不等式都成立．（此时有的学生有异议）生：我觉得应该考虑左式分式有意义的条件．师：左式分式有意义的条件是什么？生：x∈R．师：对．这道题忽视分式有意义的条件

7、是不对的．只不过在这道题中条件就是x∈R，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立．请证明这道题．（学生口述，教师板书）师：这道题又是如何变形的呢？生：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号．师：通过以上例题，用比较法证明不等式可以归纳为哪些步骤．生：有三步：（1）求差；（2）变形；（3）判断符号．师：在这些步骤中哪一步最重要．生：我认为变形最重要．师：为什么？生：因为变形适当才能判断差式符号．师：怎么就叫“变形适当”？生：通过变形将差式化为容易判断符号的式子．师：对．求差后，把所得差式进行合理变形，化为容易判断符号的式子是求

8、差比较证明不等式的关键．在变形中，有哪些具体方法呢？生：变形时可以用配方法、因式分解、通分．师：当然，除了这些主要的方法，在今后学习中还要不断积累方法．（学生审题，考虑片刻）师：这道题问的是两