浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数规范答题示例8函数的单调性极值与最值问题学案

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1、规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题典例8　(15分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．审题路线图　―→―→.规范解答·分步得分构建答题模板解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0)．若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)

2、在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f ＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f >2a－2等价于lna＋a－1<0.12分令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).15分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．第三步写区间：利用f′(x)的符号确定函数的单调性．第四

3、步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则　(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给3分；(4)构造函数g(a)＝lna＋a－1给3分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给3分．跟踪演练8　(2018·天津)已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a>1.(1)求函数h(x)＝f(x)－xlna的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－；(3)证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切

4、线，也是曲线y＝g(x)的切线．(1)解　由已知得h(x)＝ax－xlna，则h′(x)＝axlna－lna．令h′(x)＝0，解得x＝0.由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)证明　由f′(x)＝axlna，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为lna.由g′(x)＝，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行，所以有lna＝，即x2

5、(lna)2＝1，两边取以a为底的对数，得logax2＋x1＋2logalna＝0，所以x1＋g(x2)＝－.(3)证明　曲线y＝f(x)在点(x1，)处的切线为l1：y－＝lna·(x－x1)．曲线y＝g(x)在点(x2，logax2)处的切线为l2：y－logax2＝(x－x2)．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使得l1与l2重合．即只需证明当a≥时，下面的方程组有解由①得，x2＝，代入②，得－x1lna＋x1＋＋＝0.③因此，只需证明

6、当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u(x)＝ax－xaxlna＋x＋＋，即要证明a≥时，函数u(x)存在零点．u′(x)＝1－(lna)2xax，可知当x∈(－∞，0)时，u′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，u′(x)单调递减，又u′(0)＝1>0，u′＝1－<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)＝0，即1－(lna)2x0＝0.由此可得u(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．u(x)在x＝x0处取得极大值u(x0)．因为a≥，所以lnlna≥－1，所以u(x0)＝－x0lna＋x0＋＋＝＋x0＋≥≥0.下

7、面证明存在实数t，使得u(t)<0.由(1)可得ax≥1＋xlna，当x>时，有u(x)≤(1＋xlna)(1－xlna)＋x＋＋＝－(lna)2x2＋x＋1＋＋，所以存在实数t，使得u(t)<0.因此当a≥时，存在x1∈(－∞，＋∞)，使得u(x1)＝0.所以当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线.