2018-2019学年高二数学下学期期中试题(奥赛)

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1、2018-2019学年高二数学下学期期中试题(奥赛)一、单选题1．设，若复数（是虚数单位）的实部为，则a的值为（）A．B．C．1D．-12．设向量，，若，则角（）A．B．C．D．3．“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．圆的圆心极坐标是（）A．B.C．D．5．若，其中，则（）A．B．C．D．6．命题“，使得”的否定是（）A．B．C．D．7．焦点为（0,6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（

2、）A．B．C．D．8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为（）A．8B．C．D．4十9．若曲线与曲线存在公切线，则的（）A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为10．如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（）A．与所成角为B．三棱锥的体积为定值C．D．二面角是定值.11．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于点，令，，则当时，的值为（）A．4B．5C．6D．

3、712．已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知复数，其中为虚数单位，那么=．14．已知命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆上，椭圆的离心率是e，则，类比上述命题有：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在双曲线上，双曲线的离心率是e，则．15．已知四面体四个顶点都在球的球面上，若，，且，，则球的表面积为______．16．已知直线l：4x-3y+8=0，若p是抛物线y2=4x上的动点，则点p到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为_______．三、解答题17．（

4、本题10分）已知直线在直角坐标系中的参数方程为为参数，为倾斜角)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)点，若直线与曲线交于两点，求使为定值的值.18．已知命题：方程表示椭圆，命.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若为真，为真，求实数的取值范围.19．已知圆，直线，.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.20．如图，在平面四边形中，等边三角形，，以为折痕将折起，使得（1）设为的中点，求证：（2

5、）若与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．21．如图，椭圆，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.1．C2．B3．B4．D5．B6．C7．B8．C9．D10．A11．B12．A13．114．15．16．.17．（1）∵ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρc

6、osθ=0，∴x2+y2﹣x2﹣4x=0，即y2=4x．……………………4分（2）把为（为参数，θ为倾斜角）代入y2=4x得：sin2θ•t2﹣4cosθ•t﹣4a=0，…………6分∴…………8分∴当a=2时，为定值．……………………10分18．（1）命题为真，当时，，；…………2分当时，不等式恒成立.…………4分综上知，.…………6分（2）若为真，则且………………8分若为真，为真，为假，为真.……………………10分.……………………………………12分19．证明：（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离.所以直线与圆相交，即直

7、线与圆总有两个不同的交点；………………5分（2）设中点为，因为直线恒过定点，…………6分当直线的斜率存在时，，又，∵，∴化简得.………………9分当直线的斜率不存在时，，此时中点为，也满足上述方程.……………………10分所以的轨迹方程是，………………11分它是一个以为圆心，以为半径的圆.………………12分20．证明：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．………………2分又平面，所以．在等边中，因为为的中点，所以．……4分因为，，，所以平面．…………………………5分（2）解：由（1）知平面，所以即为与平面所成角，于是在直角中，．

8、以为坐标原点，分别以，所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设等边的边长为，则，，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，于是.…………………………7分设平面的一个法向量为，则，即，解得，令，则，于