2019高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理学案 新人教B版选修2-2

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1、2．1.2　演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理．2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做________．它的特征是：当前提为____时，结论______为真．演绎推理的特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛

2、性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【做一做1】演绎推理是(　　)．A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．演绎推理的四种推理规则(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果pq，p真，则q真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“M是P，S是M，所以______”．(3)传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则______”，其中“R”表示具有传递性的关系。(4)完全归纳

3、推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证明中，以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．【做一做2－1】下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式【做一做2－

4、2】“因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为b∥c，所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是(　　)．A．第一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理B．第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理C．第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理D．第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？剖析：区别：从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异．合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体或由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论的正确性结论不一定正确，有待进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，

5、结论正确联系：从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们是紧密联系、相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．题型一假言推理【例题1】设数列{an}为等差数列，求证：以bn＝为通项的数列{bn}为等差数列．分析：由{an}为等差数列，推证{bn}为等差数列，只要证得bn＋1－bn＝d为常数即可．反思：假言推理的规则为“如果pq，p真，则q为真”．题型二三段论推理【例题2】已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，

6、求证MN∥平面ACD.分析：应用线面平行的判定定理证明．反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．题型三传递性关系推理【例题3】设a，b，c为正实数，求证：＋＋＞a＋b＋c.分析：应用均值不等式找出a2＋b2与a＋b，b2＋c2与b＋c，a2＋c2与a＋c的关系，再应用同向不等式相加法则可证明．反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递．题型四完全归纳推理【例题4】已知函数f(x)＝(＋)·x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)＞0.反

7、思：完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明．题型五易错辨析易错点：在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误．【例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.错证：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD.