2019年高中数学 第5章 推理与证明 章末小结讲义（含解析）湘教版选修1 -2

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1、第5章推理与证明1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证

2、明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．归纳推理[例1]　给出下面的数表序列：　　　　　　其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列

3、，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．[解]　表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2]　蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表

4、示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.[解析]　因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.[答案]　37　3n2－3n＋1解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是　　　　.解析：分别观察正方体的

5、个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，所以S7＝2×72－7＝91.答案：912.如图，给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可得n(n∈N＋)层六边形，试写出Sn的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为an，则an是以5为首项，4为公差的等差数列，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1＝＋1＝2n2＋3n＋1(n∈N＋).类比推理[例3]　在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D.求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎

6、样的猜想，并说明理由．[证明]　如右图所示，由射影定理，AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.∵BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.∴＝＋.猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋.故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情

7、形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm－n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：_________________________.答案：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn，(m，n∈N*，m≠n)，则Tm－n＝14．在Rt△AB