2019年高中数学 3.2.4空间向量与空间距离课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学3.2.4空间向量与空间距离课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.(xx·济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　)A.a　　　　B.a　　　　C.a　　　　D.a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E.所以

2、EF

3、===a.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为(　　)A.5B.14C.D.【解析】选C.因为=(

4、-2,-6,2).所以·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,

5、n

6、==5.所以点P到直线l的距离为=.3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则P(1,2,-2)到α的距离为(　　)A.B.C.2D.【解析】选A.因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===.4.(xx·安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为(　　)A.B.C.D.【解析】选D.设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=a+b+c,=+=(a-b)+a+b+c=a+b+c.由·=0,a

7、·b=b·c=a·c=,可解得λ=.

8、

9、=

10、

11、=.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,所以MN=AB=.又G为△ABC的中心,所以NG=,故MG==.5.(xx·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC间的距离为(　　)A.B.C.D.【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),=(1,1,0),=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设=(x,y,z),则⊥,⊥,得x+y=0

12、,-y+z=0,令y=t,则=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),=(-m,a-m,b)N(0,2t,t),2t+t=1,t=,=,==.6.(xx·邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为BB1的中点,则

13、MN

14、的长为(　　)A.aB.aC.aD.a【解析】选A.设=a,=b,=c,则

15、a

16、=

17、b

18、=

19、c

20、=a,a·b=b·c=c·a=0,由条件知,=-=(+)-=(++)-(++)=(2a-c)-(-c+a+b)=a-b-c,

21、

22、2==(2a-b-c)2=(4

23、a

24、2+

25、b

26、2+

27、c

28、2-4a·b-2a·c+b·c)=,

29、所以

30、

31、=a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.【解析】

32、

33、2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+2[1×2×cos120°+0+2×1×cos120°]=2,所以

34、

35、=,所以EF的长为.答案:二、填空题(每小题4分,共12分)7.(xx·延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A到直线A1C的距离为　　　　.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),=(1,1,2),=(0,0,2),又cos∠AA1C==

36、=.设A到直线A1C的距离为d,则d=

37、

38、sin∠AA1C=2×=.答案:8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为　.【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=,又=,所以d==.答案:9.(xx·石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为　　　　.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知=,=,设n=(x,y,

39、z),且n⊥,n⊥,所以n·=x+z=0,n·=-y+z=0,所以x=-2z,y=z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(xx·黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M在A1C1上,

40、MC1

41、=2

42、A1M

43、,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标