2019年高中数学 2.2 排序不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5

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1、2019年高中数学2.2排序不等式课后知能检测新人教B版选修4-5一、选择题1．设a1，a2，a3∈R＋，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为(　　)A．3　　　B．6C．9D．12【解析】　由题意，不妨设a1≥a2≥a3>0，则≥≥>0，∴＋＋≥＋＋＝3，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．【答案】　A2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱(　　)A．6元B．19元C．25元D．3元

2、【解析】　由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．【答案】　B3．设a，b都是正数，P＝()2＋()2，Q＝＋，则(　　)A．P≥QB．P≤QC．P>QD．P0，则a2≥b2，≥，∴≥.根据排序不等式，知×＋×≥×＋×，即()2＋()2≥＋，∴P≥Q.当且仅当a＝b时，取“＝”号．【答案】　A4．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于

3、零【解析】　设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.【答案】　B二、填空题5．若a>0，b>0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．【解析】　不妨设a≥b>0，则有a2≥b2，且≥.由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝

4、a＋b＝1当且仅当a＝b＝时，等号成立．∴＋的最小值为1.【答案】　16．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则＋＋…＋与n的大小关系是________．【解析】　不妨设00时等号成立．【答案】　＋＋…＋≥n三、解答题

5、7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.【证明】　∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，≥≥＞0.∴≥≥，∴≥≥，由顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋∴＋＋≥＋＋.8．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)＋＋≤.【证明】　(1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0.∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．所以＋＋≤＋＋＝(＋＋)．＝

6、·＝.故原不等式得证．9．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．【证明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在(0，)为增函数，y＝cosx在(0，)为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.根据排序不等式得：乱序和>反序和．∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．故原不等

7、式得证．教师备选10．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.【证明】　由对称性，不妨设a≥b≥c>0，于是a12≥b12≥c12，≥≥，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为a11≥b11≥c11，≤≤.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得＋＋≤＋＋.②所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.