2019-2020年高中数学 第四章 圆与方程章末知识整合 新人教A版必修2

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1、2019-2020年高中数学第四章圆与方程章末知识整合新人教A版必修2圆的方程有两种形式：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，明确了圆心和半径，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)体现了圆的二元二次方程的特点，在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法．　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程．解析：解法一　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可

2、得解得故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.解法二　由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，由解得∴圆心P的坐标为(2，1)．圆半径r＝

3、AP

4、＝＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.►跟踪训练1．求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程．解析：解法一：∵圆心在y轴上，设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴∴所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.解法二：线段AB的中点为(1，3)，kAB＝＝－

5、，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由得(0，1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为＝，∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.2．已知△ABC三边所在直线的方程为AB：x＋2y＋2＝0，BC：2x－y－6＝0，CA：x－2y＋6＝0，求△ABC的外接圆的方程．解析：由题先求出△ABC的三个顶点．由得B(2，－2)，由得C(6，6)，由得A(－4，1)，又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.解方程组得a＝1，b＝，r2＝.∴所求外接圆方程为(x－1)2＋＝

6、.直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有：1．直线与圆的三种位置关系．(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆位置关系的两种判定方法．(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切，若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当dr时，直线与圆相离．3．求弦长

7、．直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()2＋d2＝r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解．代数法：

8、AB

9、＝

10、x1－x2

11、(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)．4．圆的切线．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.(2)圆的切线方程的求法．①求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程．几何法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x＝x0.

12、代数法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k，讨论方法同上．②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)求圆的切线方程．圆心C(a，b)，k＝－，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，如果kPC不存在，则k＝0，如果kPC＝0，则切线方程为x＝x0.解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法．　例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设

13、P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解析：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0.即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方

14、程为y－b＝k(x－a)(k≠0)，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线