2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题讲义(含解析)新人教A版选修1 -1

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1、1.1.1 命 题预习课本P2~4,思考并完成以下问题1.命题、真命题、假命题的概念分别是什么?  2.在命题“若p,则q”的形式中,p、q分别叫做命题的什么?     命题[点睛] (1)判断一个语句是命题的两个要素:①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;②可以判断真假.(2)命题的形式:①有的命题有明确的条件p和结论q,而有的命题不明显.②确定命题的条件和结论时,最好把命题写成“若p,则q”的形式.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“集合{a,b,c}有3个子集”是命题(  )(2)“x2-3x+2=0”是命题(  )答案:(1)√ 

2、(2)×2.语句“若a>b,则a+c>b+c”(  )A.不是命题        B.是真命题C.是假命题D.不能判断真假答案:B3.下列语句中,是假命题的是(  )A.一条直线有且只有一条垂线B.不相等的两个角一定不是对顶角C.直角的补角必是直角D.两直线平行,同旁内角互补答案:A4.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为________________________.答案:若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除命题的概念[典例] 判断下列语句是否是命题,并说明理由.(1)是有理数;(2)3x2≤5;(3)梯形是不是平面图形呢?(4)一

3、个数的算术平方根一定是负数.[解] (1)“是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.[活学活用]判断下列语句是否为命题,并说明理由.(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;(2)任

4、何集合都是它自己的子集;(3)对顶角相等吗?(4)x>3.解:(1)是陈述句,能判断真假,是命题.(2)是陈述句,能判断真假,是命题.(3)不是陈述句,不是命题.(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.判断命题的真假[典例] 判断下列命题的真假,并说明理由.(1)正方形既是矩形又是菱形;(2)当x=4时,2x+1<0;(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.[解] (1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)

5、(x-7)=0.(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列.命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.      [活学活用]1.下列命题中,为假命题的是(  )A.若a>0,则2a>1B.若+=0,则x=y=0C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列D.若sinα=sinβ,则不一定有α=β解析:选C A选项,若a>0,则2a>1,正确;

6、B选项,若+=0,可得x=y=0,正确;C选项,若b2=ac,可知b=a=c=0也成立,显然不是等比数列.故选C.2.判断下列语句是否为命题,并判断命题的真假.(1)一个正整数不是素数就是合数;(2)若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;(3)60x+9>4;(4)若x∈N,则x2+4x+7>0.解:(1)该语句是命题.由于整数1既不是素数,也不是合数,所以它是假命题.(2)该语句是命题.+(-)和·(-)都是有理数,但,-都是无理数,所以它是假命题.(3)这种含有未知数的语句中,不等式是否恒成立无法确定,即不能判断其真假,所以它不是命题.(4)因为当x∈N时,x2+4

7、x+7>0恒成立,所以该语句是命题,且是真命题.命题的结构形式[典例] 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)6是12和18的公约数;(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.[解] (1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相

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