2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题讲义（含解析）新人教A版选修1 -1

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1、1．1.1　命　题预习课本P2～4，思考并完成以下问题1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？　　2．在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？　　　　　命题[点睛]　(1)判断一个语句是命题的两个要素：①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；②可以判断真假．(2)命题的形式：①有的命题有明确的条件p和结论q，而有的命题不明显．②确定命题的条件和结论时，最好把命题写成“若p，则q”的形式．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题(　　)(2)“x2－3x＋2＝0”是命题(　　)答案：(1)√　

2、(2)×2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”(　　)A．不是命题　　　　　　　　B．是真命题C．是假命题D．不能判断真假答案：B3．下列语句中，是假命题的是(　　)A．一条直线有且只有一条垂线B．不相等的两个角一定不是对顶角C．直角的补角必是直角D．两直线平行，同旁内角互补答案：A4．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除命题的概念[典例]　判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一

3、个数的算术平方根一定是负数．[解]　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．[活学活用]判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任

4、何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．(2)是陈述句，能判断真假，是命题．(3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假[典例]　判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)

5、(x－7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．　　　　　　[活学活用]1．下列命题中，为假命题的是(　　)A．若a>0，则2a>1B．若＋＝0，则x＝y＝0C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若sinα＝sinβ，则不一定有α＝β解析：选C　A选项，若a>0，则2a>1，正确；

6、B选项，若＋＝0，可得x＝y＝0，正确；C选项，若b2＝ac，可知b＝a＝c＝0也成立，显然不是等比数列．故选C.2．判断下列语句是否为命题，并判断命题的真假．(1)一个正整数不是素数就是合数；(2)若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；(3)60x＋9>4；(4)若x∈N，则x2＋4x＋7>0.解：(1)该语句是命题．由于整数1既不是素数，也不是合数，所以它是假命题．(2)该语句是命题.＋(－)和·(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以它是假命题．(3)这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题．(4)因为当x∈N时，x2＋4

7、x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．命题的结构形式[典例]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解]　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相