2019-2020年高中数学 2.4幂函数学案 苏教版必修1

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1、2019-2020年高中数学2.4幂函数学案苏教版必修11．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y＝x2，y＝x4是幂函数，而函数y＝2x2不是幂函数．2．幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y＝xα恒过定点(1)(1，1)．当α＞0时，所有幂函数都过定点(0，0)和(1，1)．(2)单调性：当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为整数且为偶数时，y＝x

2、α为偶函数；当x为分数时，可将y＝xα化为根式再判断．4．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中是幂函数的有________．答案：y＝5．函数y＝x3的定义域是______；y＝x的定义域是______；y＝x的定义域是______．答案：R　[0，＋∞)　R一、幂函数(1)y＝xα中的α是任意实数，要确定一个幂函数的解析式，只需确定出α即可．(2)要把幂函数和指数函数区别开来，幂函数的底为自变量，指数为常数，指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量．二、幂函数的图象和性质(1)幂函数图象的性质：①都过点(1，1)；②0＜α＜1时，在第一象限内图象上凸，α＞1时图象下

3、凸；③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；④任何两个幂函数图象最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点；⑤α>0时幂函数图象总过原点，α<0时，幂函数图象不过原点．(2)幂函数的图象在第一象限的分布规律：①在经过点(1，1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；②幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、二象限关于y轴对称，幂指数的分子、分母都是奇数时，图象在第一、第三象限关于坐标原点对称．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(A)A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x－2．右图所示的是函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象，则(C)A．m，n是奇数且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m，n是偶数，且>1解析：由图象知y＝x为偶函数，且m、n互质，∴m是偶数，n是奇数，又由y＝x与y＝x图象的位置知<1.3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象应是(B)4．下列函数中与y＝定义域相同的函数是(D)A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝5．下图中的曲线C1与C

5、2分别是函数y＝xp和y＝xq在第一象限内的图象，则一定有(A)A．qp>0D．p>q>06．下列四类函数中，具有性质“对任意x>0，y>0都有f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(C)A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．二次函数7．T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式中正确的是(D)A．T1

6、对称，其中正确命题的个数是3个．10．四个数，，，从小到大依次排列为<<<．11．已知幂函数f(x)＝xm2＋m－2(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则函数g(x)＝2x＋的最小值是________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1.又m∈Z，∴m＝－1，0.此时均有f(x)＝x－2时图象关于y轴对称．∴f(x)＝x－2(x≠0)．∴g(x)＝2x＋x2＝(x＋1)2－1(x≠0)．∴g(x)min＝－1.答案：－112．已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值

7、为________．解析：∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∴m＝2满足题意；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，∴y＝1在(0，＋∞)上为常函数，应舍去．答案：213．已知f(x)＝＋ax3＋bx5＋1，且f(2014)＝m，则f(－2014)＝________．解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，∴f(－2014)＋f(2014)＝2.故f(－2014)