2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案：第二章 2-2 用内切球探索圆锥曲线的性质

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1、2019-2020年高中数学人教B版选修4-1教学案：第二章2-2用内切球探索圆锥曲线的性质[对应学生用书P40]　[读教材·填要点]1．球的切线与切平面(1)球的切线：①定义：与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线，如果球的切线通过一点P，切点为A，则称线段PA的长为从点P引的球的切线长．②性质：球的切线垂直于过切点的半径．从球外任一点引球的所有切线长相等．(2)球的切平面：①定义：与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面．②性质：一个球的切平面，垂直于过切点的半径．2．圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线．(1)圆柱面的定义：一条直线绕着与它平行的一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆柱

2、面，这条直线叫做圆柱面的母线，平行直线叫做圆柱面的轴．(2)圆柱面的内切球：在圆柱面的轴上任取一点C，过C作垂直于轴的平面δ，则平面δ在圆柱面上的截线⊙(C，r)称为切点圆，以C为圆心，r为半径作球，该球叫做圆柱面的内切球．(3)圆柱面的平面截线：①如果平面δ与圆柱面的轴线垂直，则平面δ截圆柱所得的截线是一个圆，此时δ平面为圆柱面的直截面；②如果平面δ与圆柱面的轴所成的角为锐角，此时称平面δ为斜截面，平面δ截圆柱所得的截线是一个椭圆．③椭圆的定义：在一个平面内，到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹，叫做椭圆．3．圆锥面及其内切球(1)圆锥面：①定义：一条直线绕着

3、与它相交成定角θ(0<θ<)的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线，另一条直线叫做圆锥面的轴，母线与轴的交点，叫做圆锥面的顶点，顶点为S的圆锥面通常记作圆锥面S.②性质：性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等．性质2：如果一个平面垂直于圆锥面的轴线，则其截圆锥面所得的截线是圆．(2)圆锥面的内切球及其性质：圆锥面与内切球的交线是一个圆，并且该圆所在平面垂直于该圆锥面的轴线．(3)圆锥面的平面截线：定理：在空间给定一个圆锥面S，轴线与母线的夹角为α，任取一个不通过S的顶点的平面δ，设其与轴线的夹角为β(δ与轴线平行时，规定β＝0)则①当β>α时，平

4、面δ与圆锥面的交线为椭圆；②当β＝α时，平面δ与圆锥面的交线为抛物线；③当β<α时，平面δ与圆锥面的交线为双曲线．4．圆锥曲线的统一定义定理：除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹，其中F叫做圆锥曲线的焦点，直线叫做圆锥曲线的准线．[小问题·大思维]用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆．[对应学生用书P41]　圆柱面的平面截线[例1]　已知圆柱底面半径为，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直

5、线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．[思路点拨]　本题考查平面与圆柱面的截线．解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴．[精解详析]　过G1作G1H⊥BC于H.∵圆柱底面半径为，∴AB＝2.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2.在Rt△G1G2H中，G1G2＝＝＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键．1．平面α与圆柱轴线成60°角，截圆柱面所得椭圆焦距为2，求圆柱面的半径．解：如图所示，O为椭圆中心，AA′是椭圆的长轴

6、，其长设为2a，过O向圆柱母线作垂线，垂足为B，则△OAB是直角三角形，且∠OAB＝60°是平面α与圆柱母线(也是与轴线)所成的角．设圆柱面半径为r，则a＝＝.椭圆的短轴长2b＝2r，即b＝r，由已知焦距2c＝2，∴c＝.又在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴2＝r2＋()2.解得r＝3，即圆柱面的半径为3.圆锥面的平面截线[例2]　证明：当β>α时，平面δ与圆锥的交线为椭圆．[思路点拨]　本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．[精解详析]　如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面δ的上方，一个位于平面δ的下方，并且与平面δ及圆锥均相

7、切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面δ与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面δ的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面δ与圆锥的