2019-2020年高三5月高考考前保温训练数学（2）

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1、2019-2020年高三5月高考考前保温训练数学（2）日期；星期；天气；心情：【一两个冷点，小试身手】1.已知数列的前项和为，且，则数列为等比数列的充要条件是2.在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．【些许经典题，串联思维】3.已知关于的方程有唯一解，则实数的值为.【思考】方程有唯一解的问题的处理方法有哪些？常见转化为什么？如果画图，画什么图？巧妙解法从何而来？如何观察代数式的结构，你有哪些心得？如果本题是解答题的某一问，怎样保

2、证过程不扣分？函数、方程和不等式的问题，除了考虑对应问题的对应解法之外，代数式的结构特征、对应图形的特征也是要仔细斟！请将唯一解的问题进行整理，列出对应的题目和解法、代数式的结构特征以及那题的细节.4.已知数列{an}满足：a1＋＋＋…＋＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有(1－λ)S

3、n＋λan≥2λn恒成立，求实数λ的取值范围．【思考】形如第二小问的问题，我们称作为子数列问题.请就这一问，整理同类型的题目，考虑对应不定方程的解释如何判定无解，如何求解其解的？（最典型的为08年江苏高考题）用奇偶分析：（请在横线上写出对应方程中式子结构特征）用约数分析：用有理数分析：用范围去逼：用r，s，t相等与已知条件矛盾的：【一道附加题，权作调节】5.现有三种卡片：一种写有数字，一种写有数字，一种写有数字，从上述三种卡片中选择若干张，使得这些卡片上的数字总和为.⑴当，试求相应的选法种数；⑵对于正整数，数字总和为对

4、应的选法种数为，试用数学归纳法归纳猜想并证明．参考答案1.且2.84乙3.答案：1解：注意到函数为偶函数，∴方程的唯一解为，由解得或，当时，在上为增函数，满足题设条件，当时，令，则函数可化为，∵，∴方程在区间上有解，∴不满足题设，故舍去，∴。另解：方程可化为然后数形结合，结合知函数与函数的图像有两个交点。4.解：（1）当n＝1时，a1＝3．当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n，①所以a1＋＋＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)．②①－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）．a1＝3也适

5、合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1(n∈N*)．（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．若存在ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1)·4r－1][(2t＋1)·4t－1]＝(2s＋1)2·42s－2．整理得(2r＋1)(2t＋1)4r＋t－2s＝(2s＋1)2．由奇偶性知r＋t－2s＝0．所以(2r＋1)(2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．当λ＝1时

6、，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，λSn＝3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2×－(2n＋1)λn．要对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立；②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2×－(2n＋1)λn＋λan＝3＋2×＝－．因此对任意n∈

7、N*，都有≥·λn恒成立．当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N*恒成立．只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．因此当0＜λ＜1时，结论成立．当λ≥2时，≥·λn，显然不可能对任意n∈N*恒成立．当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N*恒成立．只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．因此当1＜λ≤时，结论成立．综上所述，实数λ的取值范围为(0，]．5.答：（1）12种（2）从而得