2017_18版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质一学案北师大版选修

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1、2.2　抛物线的简单性质(一)学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的简单性质思考1　类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？　　　思考2　参数p对抛物线开口大小有何影响？　　　梳理　标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点离心率e＝______知识点二　焦点弦

2、设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y2＝2px(p>0)

3、AB

4、＝x1＋x2＋p9y2＝－2px(p>0)

5、AB

6、＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)

7、AB

8、＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)

9、AB

10、＝p－(y1＋y2)类型一　抛物线简单性质的应用例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．　　　　引申探究　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是_____

11、________________________________________________．反思与感悟　把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．　　　　9类型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6

12、x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求

13、AB

14、的值；(2)若

15、AB

16、＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．　　　反思与感悟　(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．①若抛物线y2＝2px(p>0)，则

17、PF

18、＝x0＋；②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则

19、PF

20、＝－x0；③若抛物线x2＝2py(p>0)，则

21、PF

22、＝y0＋；④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则

23、PF

24、＝－y0(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p

25、>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

26、AB

27、＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2　直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若

28、AB

29、＝8，则直线l的方程为_____________________________________________________．类型三　与抛物线有关的最值问题例3　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3

30、,2)．求

31、PB

32、＋

33、PF

34、的最小值．　　9　反思与感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(　　)A.B．2C.D.1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则

35、AB

36、的最小值为(　　)A.B．pC．2pD．无法确定2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到

37、该抛物线焦点的距离是(　　)A．4B．6C．8D．123．已知抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为(　　)A．1B．2C．3D．44．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8B．16C．32D．615．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．　　　　　9　　1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的

38、距离的转化，其次是平面几