2017_18版高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案北师大选修

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1、第一章常用逻辑用语1　解逻辑用语问题的三绝招1．化为集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)　　图1　　　　　　图2　　　　　　图3④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1　

2、“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)解析　设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x

3、x≤1或x≥2}，B＝{x

4、x≥1}，显然“A⊈B，B⊈A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．答案　既不充分又不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下

5、药．例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝80”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．解析　(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.(2)将命题p转化为当x∈

6、[1,2]时，(x2－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．综上所述a≤－1或2≤a≤4.答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3　设p

7、：q：x2＋y2≤r2(r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A∁RB出发解题．解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝，∴r的取值范围为0

8、的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2(r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2　命题的否定与否命题辨与析8否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否

9、定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．例1　写出下列命题的否命题及否定：(1)若

10、x

11、＋

12、y

13、＝0，则x，y全为0；(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．解　(1)原命题的条件为“

14、x

15、＋

16、y

17、＝0”，结论为“x，y全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若

18、x

19、＋

20、y

21、≠0，则x，y不全为0”．写原命题的否定只

22、需否定结论，所以原命题的否定为“若

23、x

24、＋

25、y

26、＝0