【高考数学】构造函数法证明不等式的八种方法

《【高考数学】构造函数法证明不等式的八种方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例已知函数/(x)=ln(x+l)-x,求证：当兀>—1时，恒有1一一/(a))

2、,那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、作差法构造函数证明12【例2】已知函数/(x)=-x2+lnx.求证：在区间(1,+8)上，函数/(x)的图象在函数g(x)=—疋的23图象的下方;本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设F(x)=/(x)-g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明【例3】(2010年，山东卷)证明：对任意的正整数n,不等式In(丄+1)>亠-A都成立.nn~n【警示启迪】我们知道，当F(x

3、)在上单调递增，则x>a时，有FM>F(a).如果=(pg要证明当x>a时，/(x)>(p{x),那么，只要令F(x)=/(x)-(p(x),就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明FXx)>0即可.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数尸/(x)在/?上可导且满足不等式/(x)恒成立，且常数日,0满足a>b,求证：.【警示启迪】由条件移项后h'(x)+/(Q，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)=xf{x),求导即可完成证明。若题目中的条件改为xfx)>f(x),则移项后jtfXx)-f(x),要想到是一个商的导数的

4、分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例.(全国)已知函数/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx(1)求函数/(兀)的最大值；(2)设Ovavb,证明:0

5、l.在g(d)+g(h)-2gVj)中以b为主变元构造函数，设F(x)=g(G)+gO)-2g(号兰),则F(x)=g'Cx)-2[仝)]'=lnx-ln纟子•当0vxvg时，F(x)vO,因此尸(尢)在(0,d)内为减函数.当x>a时，F(x)>0,因此F(x)在(«,4-00)上为增函数.从而当x=a时，F(x)有极小值F(d).因为F⑷=O,b>a,所以F(b)>0,即g(a)+g(b)-2g(爭)>0.又设G(x)=F(x)—(x—a)In2.则G(x)=lnx-lna+x—In2=Inx-ln(a+x)•2当x〉0时G(x)<0.因此G(兀)在(0,+oo)上为减函

6、数.因为G(a)=0,b>a,所以G(b)v0,即g(a)+g(Z?)-2g(a+^)<(b-a)ln2.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性10例.已知函数f(x)=aex--x2⑴若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围;(2)若a=1t求证:x>0时，f(x)>1+x小结：当函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题.不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>/(x)(°gm

7、求函数的最值问题.因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.7•对数法构造函数(选用于幕指数函数不等式)」14】+兰例：证明当兀>(»寸,(1+兀)Aa>©证明Q方>ba.设函数/(x)在R上的导函数为广(Q,且2/(兀)+妙'(兀)>尢S下面的不等式在R上恒成立的是A./(x)>0B./(x)<0C.f(x)>xD./(x)(1+用T【思维挑战】1V(2007年，安徽卷)设a>0,f(