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时间:2019-10-21
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1、二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法: ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式(,) ③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是
2、二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析. 1.公式法 【例1】计算①;② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便. 2.观察特征法 【例2】计算: 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以,即得分子,于是可以简
3、解如下: 【解】原式. 【例3】把下列各式的分母有理化. (1);(2)() 【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法: 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简.但是,不难发现②式分子中的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下: 【解】②原式 3.运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后
4、评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“” 4.平方法 【例5】化简 【解】∵ ∴. 【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题,一般用平方法都可以进行化简 5.恒等变形公式法 【例6】化简 【方法导引】若直接展开,计算较繁,如利用公式,则使运算简化. 【解】原式 6.常值换元法 【例7】化简 【解】令,则: 原式 7.裂项法 【例8】化简 【解】原式各项分母有理化得 原式 【例9】化简 【方法导引
5、】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简解: 【解】原式 8.构造对偶式法 【例10】化简 【解】构造对偶式,于是没 , 则,, 原式 9.由里向外,逐层化简 【解】∵ 而 ∴原式 【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简的方法处理. 10.由右到左,逐项化简 【例11】化简 【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化
6、简. 【解】原式 . 【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键,由平方差公式将多重根号逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.返回二次根式大小比较的常用方法 二次根式的化简具有极强的技巧性,而在不求近似值的情况下比较两个无理数(即二次根式)的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一个难点,但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用. 1.根式变形法 【例1】比较与的大小 【解】将两个二次根式作变形得
7、, ∵,∴即 【解后评注】本解法依据是:当,时,①,则;②若,则 2.平方法 【例2】比较与的大小 【解】, ∵,∴ 【解后评注】本法的依据是:当,时,如果,则,如果,则. 3.分母有理化法 通过运用分母有理化,利用分子的大小来判断其倒数的大小. 【例3】比较与的大小 【解】∵ 又∵ ∴ 4.分子有理化法 在比较两个无理数的差的大小时,我们通常要将其进行分子有理化,利用分母的大小来判断其倒数的大小. 【例4】比较与的大小 【解】∵ 又∵ ∴.而 5
8、.等式的基本性质法 【例5】比较与的大小 【解法1】∵ 又 ∴ 即 【解后评注】本解法利用了下面两个性质:①都加上同一个数后,两数的大小关系不变.②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致. 【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积,得 又∵∴ 【解后评注】本解法的依据是:都乘以同一个正数后,两数的大小关系不变. 6.利用媒介值传递法 【例6】比较与的大小 【解】∵∴ 又∵∴ ∴ 【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法,利用数值的传递性进
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