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时间:2019-10-20
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1、第一讲函数的单调性与奇偶性知识点金1.单调性⑴单调性的定义:对于给定区间上的函数斤兀),①如果对于属于这个区间的任意两个自变量心,兀2,当兀1<也时,都有沧1)f(X2),那么就说几对在这个区间上是减函薮.⑵证明函数单调性的方法:①定义法;②利用已知函数的单调性;③利用函数的图象;④依据符合函数单调性有关结论;弘)-他)>0。念)为增函数,州一兀2/U,)-/(x2)<0^/(x)为减函数;⑥求导兀1~X2法.⑶单调性的有关性质:①若函数y=f(X)和尸g(X)在公共区
2、间D内都是增(减)函数,则函数y=f(x)+g(x)在区间。内是增(减)函数;②若两个正值函数尸/W和尸gOO在公共区间D内都是增(减)函数,则函数y=fM•g(x)在区间D内是增(减)函数;③若两个正值函数yhW和尸g⑴在公共区间D内都是增(减)函数,则函数y=f^•&(%)在区间D内是减(增)函数;①设有函数y=f{u),«=g(x),则称形如y=fl_g(x)]的函数是复合函数.函数单调性内函数W=g(x)//外函数y=f(u)//复合函//数炖g(x)]2・奇偶性⑴奇偶性的定义:设函数/(x)的定义域为/,I是关于原点对称的数集,如果对任意的心,都有/(-^)=-/W,
3、则称/(兀)是奇函数;如果对于任意心,都有f(-x)=/(X)?则称兀X)是偶函数.⑵奇函数的图像关于原点对称,在原点的两侧具有相同的单调性;偶函数的图像关于y轴对称,在原点的两侧具有相异的单调性.⑶函数按奇偶性来分可有奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数等四类.⑷对于定义在R上的函数/W:函数兀0为偶函数函数几X)为奇函数O/(-x)=-/(X)<=>/(-%)+/⑴=0⑸奇偶性的有关性质:①设兀0,g(x)是定义在D1,6上的奇函数,那么在Dg上,f(X)+g(X)是奇函数,f(x)•g(x)是偶函数,类似地有:奇土奇=奇,奇乂奇=偶,偶土偶=偶,偶>
4、<偶=偶,奇><偶=奇;②/W是奇函数的充要条件是其图像关于原点对称;斤对是偶函数的充要条件是其图像关于y轴对称;①若几兀)是具有奇偶性且在正(负)区间为单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的;②对于复合函数FM=fig⑴],若g(x)为偶函数,则尸(兀)为偶函数,若g(x)为奇函数,/(x)为奇函数,则F(%)为奇函数;若g(x)为奇函数,抡)为偶函数,则F(x)为偶函数.3.其他结论⑴设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数.①若/W在R上为单调函数,贝I/(xjklm:2)lolKIvl兀2I②若兀0在R上为增函数,贝IJ1/(^1)l
5、X2③若几兀)在R上为减⑵设函数y=f(x)是定函数,贝I」I)llXjl<-x2•义在R上的偶函数.①若兀0在z上为增函数,贝IJ/(兀1)<于(兀2)OlX兀2I②若兀0在上为减函数,贝IJ/(“)(兀2)01為1>1X2I例题精析例1•试判断下列函数的奇偶性;(1)/(%)=1兀+2丨+丨兀一21;⑵心V2-x2lx+21-2分析:可利用函数的奇偶性定义直接进行判断.解:(1)且函数/(-X)=1-x+2l+l-x-2l=lx-2l+lx+2l=fx),的定义域为R,故函数为偶函数.⑵兀的取值必须满足仁鳥(),解得-血1<0,或。<乂皿,[Ix+2丨
6、一2工0它关于原点对称.于是,它是奇函数.Ix+21—2=x+2—2=x,从而/3=匹^显然⑶函数的定义域为称,故函数既非奇函数又非偶函数.评注:函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则心时")是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.⑴判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称,然后检验对任意的X,是否有应对函数式作一些变形;⑵应掌握一些特殊函数的奇偶性并记住一些常见的结论,女口/U)=loga^
7、,X-1/(x)=logu(a/x2+1+x),f(x)=1+,/(x)=1X+1I-lx-ll,、J-2—12均为奇函数;/(
8、X)=Vx匸1+71-x2,/(x)=0的取值关于原点对称),等均为既是奇函数又是偶函数;fM=C(C为非零常数,X的取值关于原点对称)为偶函数.例2.已知定义在"上的函数兀0的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2—2x4-2,求函数f(x)的解析式.分析:由图像关于原点的对称性可知,力是奇函数,因而可根据奇函数的定义求解.但这里不能忘了求几0).解:当x<0时,—%>0,故/(-X)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2・因函数/(X)的图像关于原点
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