第一讲函数的单调性与奇偶性

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1、第一讲函数的单调性与奇偶性知识点金1.单调性⑴单调性的定义：对于给定区间上的函数斤兀)，①如果对于属于这个区间的任意两个自变量心，兀2,当兀1<也时,都有沧1)f(X2)，那么就说几对在这个区间上是减函薮.⑵证明函数单调性的方法：①定义法；②利用已知函数的单调性；③利用函数的图象；④依据符合函数单调性有关结论；弘)-他)>0。念)为增函数，州一兀2/U,)-/(x2)<0^/(x)为减函数；⑥求导兀1~X2法.⑶单调性的有关性质：①若函数y=f(X)和尸g(X)在公共区

2、间D内都是增(减)函数，则函数y=f(x)+g(x)在区间。内是增(减)函数；②若两个正值函数尸/W和尸gOO在公共区间D内都是增(减)函数，则函数y=fM•g(x)在区间D内是增(减)函数；③若两个正值函数yhW和尸g⑴在公共区间D内都是增(减)函数，则函数y=f^•&(%)在区间D内是减(增)函数；①设有函数y=f{u),«=g(x),则称形如y=fl_g(x)]的函数是复合函数.函数单调性内函数W=g(x)//外函数y=f(u)//复合函//数炖g(x)]2・奇偶性⑴奇偶性的定义：设函数/(x)的定义域为/，I是关于原点对称的数集，如果对任意的心，都有/(-^)=-/W，

3、则称/(兀)是奇函数;如果对于任意心，都有f(-x)=/(X)?则称兀X)是偶函数.⑵奇函数的图像关于原点对称，在原点的两侧具有相同的单调性；偶函数的图像关于y轴对称，在原点的两侧具有相异的单调性.⑶函数按奇偶性来分可有奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数等四类.⑷对于定义在R上的函数/W：函数兀0为偶函数函数几X)为奇函数O/(-x)=-/(X)<=>/(-%)+/⑴=0⑸奇偶性的有关性质：①设兀0，g(x)是定义在D1，6上的奇函数，那么在Dg上，f(X)+g(X)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数，类似地有：奇土奇=奇，奇乂奇=偶，偶土偶=偶，偶＞

4、＜偶=偶，奇＞＜偶=奇;②/W是奇函数的充要条件是其图像关于原点对称；斤对是偶函数的充要条件是其图像关于y轴对称；①若几兀）是具有奇偶性且在正（负）区间为单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的；②对于复合函数FM=fig⑴］，若g（x）为偶函数，则尸（兀）为偶函数，若g（x）为奇函数，/（x）为奇函数，则F(%)为奇函数；若g(x)为奇函数，抡)为偶函数，则F(x)为偶函数.3.其他结论⑴设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数.①若/W在R上为单调函数，贝I/(xjklm：2)lolKIvl兀2I②若兀0在R上为增函数，贝IJ1/(^1)l

5、X2③若几兀)在R上为减⑵设函数y=f(x)是定函数，贝I」I)llXjl<-x2•义在R上的偶函数.①若兀0在z上为增函数，贝IJ/（兀1）＜于（兀2）OlX兀2I②若兀0在上为减函数，贝IJ/(“)1X2I例题精析例1•试判断下列函数的奇偶性；(1)/(%)=1兀+2丨+丨兀一21；⑵心V2-x2lx+21-2分析：可利用函数的奇偶性定义直接进行判断.解:(1)且函数/(-X)=1-x+2l+l-x-2l=lx-2l+lx+2l=fx)，的定义域为R，故函数为偶函数.⑵兀的取值必须满足仁鳥（），解得-血1<0，或。<乂皿，[Ix+2丨

6、一2工0它关于原点对称.于是，它是奇函数.Ix+21—2=x+2—2=x，从而/3=匹^显然⑶函数的定义域为称，故函数既非奇函数又非偶函数.评注：函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性（即若奇函数或偶函数的定义域为D,则心时"）是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.⑴判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的X，是否有应对函数式作一些变形;⑵应掌握一些特殊函数的奇偶性并记住一些常见的结论，女口/U)=loga^

7、,X-1/(x)=logu(a/x2+1+x),f(x)=1+,/(x)=1X+1I-lx-ll，、J-2—12均为奇函数;/(

8、X)=Vx匸1+71-x2,/(x)=0的取值关于原点对称），等均为既是奇函数又是偶函数;fM=C（C为非零常数，X的取值关于原点对称）为偶函数.例2.已知定义在"上的函数兀0的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2—2x4-2,求函数f(x)的解析式.分析：由图像关于原点的对称性可知，力是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解.但这里不能忘了求几0).解：当x<0时，—%>0,故/(-X)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2・因函数/(X)的图像关于原点