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1、映射映射：设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射,记为f：A->B,f表示对应法则,Zf(Q。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都冇原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1•若A={1,2,3,4},B={a,b,c}f则A到B的映射有个，3到4的映射冇个；若A_{1,2,3},B-{a,b,c}t则A到B的映射有个。例2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射f：ATB把集合A中的元素〃映射到集合B中的元索2”+〃，则在映射于下，象20的原象是()(A)2(B)3(C)4(D)51.函
2、数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域,象集C={f(x)
3、xGA}为值域。例3.已知扇形的周长为20,半径为r,扇形面积为S,则S=f(r)=；定义域为。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。例4.求函数/=Jr2-3r-4十的定义域.函数3.函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即町求得函数的定义域•常涉及到的依据为:①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③対数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实
4、际意义等.例5.若函数=/(x)的定义域为[-1,1],求函数注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)來实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对丿应法则通常表现为表格，解析式和图象。K出)•“4)的定义域。4.函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反两数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数屮常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径冇单调性，基本不等式及儿何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常
5、川函数的值域，这是求具他复朵函数值域的基础。①函数）ukx+Kkh0,XwR）的值域为R;②二次函数y=ax+朋如际0当“>0时值域是［色二兰，亦），当4aa<0时值域是（-oo,仏（•-沪］；4a③反比例函数八土（20,“0）的X值域为{ylyHO}:④指数函数y=ax(a>O,Sa^l,xeR)的值域为R+；⑤对数函数y=log。x（4>0,且4工1,兀>0）的值域为R；例6•已知g(x)=l-2x,/[g(x)]=——(好0),X求鸥).例7.求函数y=2x+4Vl-x的值域例&下列函数屮值域为（O,+8）的是（）⑻y=—・2丿(D)y=yl-2x⑥函数
6、y=sinx,y=cosx(xeR)的值域为[-1,1]:函数y=cotxy=tam;x^br+—单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.对于具体的函数來说可能有单调区间，也可能没冇单调区间，如果函数在区间（0,1）上为减函数，在区间（1,2）上为减函数，就不能说函数在（0,1）U（1,2）上为减函数.例9•讨论函数/（x）=Vl-x2的单调性。单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法（作差比较和作商比较）；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性
7、判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例10.已知函数f（x）,g（/）在R上是增函数，求证：f[g（力]在R上也是増函数。1例11.两数y=2^在定义域上的单调性为（）（A）在（-00,1）上是增函数，在（1,+对上是增函数；（B）减函数;（C）在（-8,1）上是减函数，在（1,+8）上是减函数；（D）增函数奇偶性1•⑴偶函数：=.设（a.b）为偶函数上一点，则（-a.b）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同吋满足①定义域一定要关于），轴对称，例如：y=x2
8、+l在上不是偶函数.②满足f（-X）=f（x）,或例12.判断下列函数的奇偶性：/]+X①/⑴=（尢_1）』，②/（%）=Vx2一1J1一兀2,y(-x)-/(x)=o,若/(x)h()吋，£=i.f(-x)2.⑴奇函数:f(-x)=-f(x).设(a.b)为奇函数上一点，则(-a-b)也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：y=%3在上不是奇函数•②满足/(-x)=-/W，或,/(-x)+/(x)=O,若/(%)^0时，=1.f(~x)注：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时，应在化简解析
9、式后进行，同吋灵活运用定
