资源描述：
《数学分析教案下》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、商洛学院教案《数学分林》之十二第十二章数项级数（8+2学时）教学大纲教学要求：1.熟练掌握数项级数收敛的概念与必要条件2.掌握级数敛散性的Cauchy准则3.熟练掌握正项级数收敛的各种判别法4.掌握交错级数的Leibniz判别法5.了解数项级数的Abel判别法和Dirichlet判别法教学内容：级数的收敛与和的定义，正项级数，比较判别法及其极限形式，比式判别法和根式判别法，积分判别法，交错级数，绝对收敛与条件收敛，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。时间星期・••■月一——H课题§1级数的收敛性（2学
2、时）教学冃的让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质教学重点级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性教学难点级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性课型理论讲授教学媒体教法选择讲练结合教学过程教法运用及板书要点级数概念在初等数学中，我们知道：任意冇限个实数相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论一-无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如1111—+■+・••++・…2TT2n从直观上可知，其和为1。又如，1+(—1)+1+(—1)+…
3、O其和无意义；若将其改写为：(1—1)+(1—1)+(1—1)+…则其和为：0；若写为：!+[(-!)+1]+[(_1)+1]+…则和为：10（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在,和等于什么。定义1给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的衣达式+u2+u3+•••+«”+•••(1)称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中知称为级数（1）的通项。此表2学吋填写-•份，“教学过程”不足吋可续页co级数（1）简记为：工叫，或工知On=l级数的收敛性记S”=&k=©
4、+比2+•••+%?k=称之为级数丈知的第"个部分和，简称部分和。n=co定义2若数项级数工知的部分和数列心“｝收敛于S（即卩忠s“=s）,心则称数项级数£知收敛，称s为数项级数乞知的和，记作n=l?i=lco-LUn=123"。n-8若部分和数列｛s“｝发散，则称数项级数若知发散。试讨论等比级数（儿何级数）00yaq"1=a+aq+aq?+・.・+两“1+•••绪，（aH0）的收敛性。解：见P2。讨论级数1111——+++…++…1-22-33-4n（n+1）的收敛性。解:见P2。收敛
5、级数的性质由于级数的敛散性是由它的部分和数列｛$”｝来确定的，因而也可以认为数项级数是数列｛S"的另一表现形式。反之，对于任意的数列｛①」，总可视其为数项级数=d
6、+@2_%）+（如-勺）+•••+（〜_Q”_
7、）+…的部分和数列，此时数列仏｝与级数⑷+（勺-％）+（冬-。2）+…+（。“-。“一1）+…有相同的敛散性，因此，有定理12-1-1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数£,总存在正整数W,使得当m>N以及对任意的正整数〃，W仏+1+心+2+…+仏+p<£O
8、注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个匂>°,对任何正整数N,总存在正整数加°（>N）,Po,有UmQ++%。+2+°•°+%+兀丫^00推论（必要条件）若级数（1）收敛，则lim叫=00注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。讨论调和级数11111H123n的敛散性。解：显然，有limu”=lim—=0n—>oon—>oo但当令P=m时，有1111=+++…+%+】+%+2+%+3+•••+%「m+1m+2m+32m、11111>——+——+——+•••+——=—2/w2m2m2m
9、20因此，取勺=舟，对任何正整数N,只要m>N和0=加就有故调和级数发散。U叫+1+%。+2+…+%0+必»%应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛。证明：由于Um11+Um4-2+•••+'□+“111++•••+(m+1)2(m+2)2(jn+p)2111111<1———v—m{m+1)(加+1)(加+2)m+p-l)(w+p)min+pm故对0£〉（），取N=使当加>"及对任何正整数"，都有Um+1+Um+2+•••+%+“故级数W占收敛。8Q0定理12亠2若级数耳"”与谷°与佔都有收敛,则对
10、任意常数sd,级数也收敛，且00E(叫n=l00工(c知+dvn)n=l0000+加“）二C工叫+〃工"”h=1n=l即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定理12-1-3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。Q0若级数令收敛，设其和为S,贝0级数乙++~+2+…也收敛，且其和为R”=s—s”并称为级数書5的第兀个余项（简称余项），它代表用为代替S时所产生的误差。定理12-1-4在收敛级数的项中任意加插号，既不改变级数的收
