张彬斌定稿论文

《张彬斌定稿论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、中值定理与不等式作者：张彬斌指导老师：胡学平摘要：不等式的证明是数学分析屮的常见问题，本文主要讨论应用微分中值定理对不等式证明的应用.微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及积分中值定理,在这里主要分析这三种中值定理之间的关系及其在不等式证明、函数单调性、凹凸性中的应用.关键词：不等式中值定理单调性的应用凹凸性的应用1引言关于罗尔中值定理、拉格朗LI中值定理以及柯西中值定理的证明和应用冇许多专门的研究，利用微分屮值定理证明不等式有许多方便之处，本文主要介绍如何利用它来分析证明一些常见的不等式.2基本概念定理2

2、.1罗尔中值定理若函数/满足如下条件：(1)/在闭区间［⑦们上连续；(2)/在开区间(d,b)内可导；(3)/(«)=/(/?),则在内至少存在一纟点，使得佗)=0(1)证明：因为/在［a9b］±.连续，所以冇最大值与最小值,分别用M与加表示，现分两种情况来讨论：①若m=M,则/在［a,b］上必为常数，从而结论成立.②若m

3、将不i定成立.罗尔中值定理的儿何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端高，则至少存在一条水平线.定理2.2拉格朗口中值定理若函数/满足如下条件：(0/在闭区间［Q,b］上连续；⑵/在开区间(d,b)内可导;则在至少存在一点使得b-a显然，特别当/(d)=f(h)时，木定理的结论即为罗尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是拉格朗R'11值定理的一个特殊情形.证明：作辅助函数b-a心一。)显然,F(d)=F(b)(=0)，且F在［a,b］上满足罗尔中值定理的另两个条件.故存在兵，使得b-a移项后即得到所耍证

4、明的(2)式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y=/(x)上至少存在一点pH,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线=/(%)与直线AB()，=/©)+型二皿・Cr—d))Z差.b-a定理L2的结论(公式(2))称为拉格朗日公式.拉格朗H公式还有下面儿种等价表示形式：f(b)-f(a)=厂©3-°),°v§v加(3)=f'(a+e(b-ay)(b-a),0

5、还是a>b都成立，而§则是介于Q与b之间的某一定数.而(4)、(5)两式的特点在于把中值点§表示成了Q+&(b-d)，使得不论。力为何值,&总可为小于1的菜一正数.定理2.3柯西中值定理设函数f和g满足：⑴在［。,方］上都连续；(2)在(a,b)内都可导;(3)厂(兀)和g©)不同时为零;⑷g(a)Hg(b)，则存在(a,b),使得(6)厂©二/(b)-/⑷g@)g@)-g(d)证明：作辅助函数g(b)-g(a)•(g(x)一g(。))易见F在［a,方］上满足罗尔小值定理的条件，故存在Qa,b),使得g(b)—g(a)

6、g@)=0因为g@)=0(否则由上式厂(勺也为零)，所以可把上式改写成(6)式.结论:lll±述证明可知，拉格朗口中值定理和柯西中值定理都可以借用罗尔中值定理來证明,11.罗尔中值定理是拉格朗H中值定理的特殊情况.柯西小值定理有着与前两个小值定理相类似的儿何意义，只是现在要把几g这两个函数当作以兀为参量的参量方程［%=g(x)lv=/(x)在讥川平而上表示一段曲线.山于(6)式右边的了⑹-畑表示连接曲线两端的弦AB的斜率，而(6)式左边的g(b)-g(a)厶Qi=色

7、则表示该曲线上与x=^相对应的一点仗(轨广©)处的切

8、线的斜率，因此gU)du"(3)式即表示上述切线与弦AB互相平行.拉格朗日中值定理是罗尔(Rolle)中值定理的推广，因而在证明时，自然要求满足条件的函数/转化成满足罗尔小值定理条件的函数0,即有函数/构造辅助两数0，下面将拉格朗日屮值定理的可微条件适当放宽，使其具有更广泛的意义.定理3.1设函数/在闭区间［a,b］±.连续，若函数在@上)内除了有限个点外可微，则存在兵⑺力),使nf(b)-f(a)

9、则得到=F&)(d-a)总e(讪),/(b)—/(d)=/@)(b—小丘童⑺/),令

10、/@)

11、=max{『($)

12、,

13、厂(刍)

14、},使得定理3.2设函数/在闭区间［⑦树上连续，若函数/在(a,b)内除了料个点外町微，则存在〃+1个点a<§2<•・・<©杠