【精品】张彬斌定稿论文

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1、中值定理与不等式作者：张彬斌指导老师：胡学平摘要：不等式的证明是数学分析中的常见问题,本文主要讨论应用微分中值定理对不等式证明的应用.微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及积分中值定理，在这里主要分析这三种中值定理之间的关系及其在不等式证明、函数单调性、凹凸性中的应用.关键词：不等式中值定理单调性的应用凹凸性的应用1引言关于罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的证明和应用有许多专门的研究，利川微分中值定理证明不等式有许多方便之处，本文主要介绍如何利川它来分析证明一些常见的不等式.2基本概念定理2.1罗尔中值定理若

2、函数/满足如下条件：(1)/在闭区间［a,b］.h连续；⑵/在开区间⑺劝内可导；⑶/(6Z)=/(&),则在(a,b)内至少存在一§点，使得广@)=0(1)证明：因为/在［。,切上连续，所以有最大值与最小值,分別用M与加表示，现分两种情况來讨论：①若m=M，则/在［°,方］上必为常数，从而结论成立.②若m

3、在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高，则至少存在i条水平线.定理2.2拉格朗日中值定理若函数/满足如下条件：(1)/在闭区间［a,b］上连续；(2)/*在开区间(。,方)内可导;则在至少存在一点歹，使得化)=件型⑵b-a显然,特别当f(a)=f(b)时，木定理的结论即为罗尔屮值定理的结论，这表明罗尔屮值定理是拉格朗口屮值定理的一个特殊情形.证明：作辅助函数b-a・(x_a)显然,f(q)=F0)(=0),HF在⑺,创上满足罗尔屮值定理的另两个条件.故存在，使得尸(幻=八⑷=0,b-a移项后即得到所要证明的(2)式.拉格朗F

4、I中值定理的儿何意义是：在满足定理条件的曲线y=/(%)_上至少存在一点pH，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线ab,我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线y=f(x)与直线ABy=/(d)+/(?_S(—d))之差.b-a定理1.2的结论(公式(2))称为拉格朗口公式.拉格朗H公式还有下面几种等价表示形式:f(b)-/©)=广(g)(b-a),a《b；(3)f(b)—f(a)=ff(a+0(b-a))(b-a),O<0b都

5、成立，而g则是介于d与b之间的某一显然,f(q)=F0)(=0),HF在⑺,创上满足罗尔屮值定理的另两个条件.故存在，使得尸(幻=八⑷=0,b-a移项后即得到所要证明的(2)式.拉格朗FI中值定理的儿何意义是：在满足定理条件的曲线y=/(%)_上至少存在一点pH，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线ab,我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线y=f(x)与直线ABy=/(d)+/(?_S(—d))之差.b-a定理1.2的结论(公式(2))称为拉格朗口公式.拉格朗H公式还有下面几种等价表示形式:f(b)-/©)=广(g)(b-a),a

6、《b；(3)f(b)—f(a)=ff(a+0(b-a))(b-a),O<0b都成立，而g则是介于d与b之间的某一定数•而(4)、(5)两式的特点在丁•把中值点歹表示成了Q+&(b-Q)，使得不论sb为何值,&总可为小于1的某一正数.定理2.3柯西中值定理设函数/和g满足：⑴在［a,b］上都连续；⑵在⑺")内都可导；(3)广(兀)和g'O)不同时为零;⑷g(d)Hg(b),(6)则存在§w(a,b),使得g'(§)g(b)-g(a

7、)证明：作辅助函数F(x)=/(兀)-/⑺)—兀?一/缪•(g(兀)-g@))g(b)-g(a)易见F在上满足罗尔中值定理的条件，故存在ge(a9b),使得/的-/(a)g(b)-g(a)gW=0因为g'@)=o(否则由上式广(§)也为零)，所以可把上式改写成(6)式.结论：由上述证明可知,拉格朗H中值定理和柯西中值定理都可以借用罗尔中值定理来证明，口罗尔中值定理是拉格朗H中值定理的特殊情况.柯西小值定理有着•前两个中值定理相类似的几何意义,只是现在要把/,g这两个函数当作以x为参量的参量方程(u=g(x)在MOV平血上表示一段曲线.

8、山于(6)式右边的‘9)—‘⑺)表示连接曲线两端的弦AB的斜率，而(6)式左边的g(b)-g(a)厶⑷=竺」则表示该曲线上与X=§相对应的一点(g©,/⑷)处的切线的斜率，因此g⑴du5(1)式即农示上述切线与弦AB互相