直线与平面、平面与平面平行地判定(附问题详解)

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1、直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标]　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一　直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⇒a∥α思考　若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二　平面与平面平行的判定定理语言

2、叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⇒α∥β思考　如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答　不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一　直线与平面平行的判定定理的应用例1　如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明　(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面E

3、FGH.跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明　如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二　面面平行判定定理的应用例2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明　由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C

4、1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2　已知ABCD－A1B1C1D1是棱

5、长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明　(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.又∵B1G

6、＝1，∴＝.又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.题型三　线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由.解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，∴四

7、边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3　如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF？请说明理由.解　当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一　如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝EC.又∵