贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第十七讲 梯形 人教新课标版

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1、第十七讲梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形,等腰梯形是一类特殊的梯形,其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似.通过作辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,这是解梯形问题的基本思路,常用的辅助线的作法是:1.平移腰:过一顶点作一腰的平行线;2.平移对角线:过一顶点作一条对角线的平行线;3.过底的顶点作另一底的垂线.熟悉以下基本图形、基本结论例题求解【例1】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长是.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨平移腰,构造等腰三角形、平行四边形.注平移腰、平移对角线的作用在于,能得到长度为梯形上

2、下底之差或之和的线段,能把题设条件集中到同一三角形中来.【例2】已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于()A.4B.6C.8D.(全国初中数学联赛试题)思路点拨给出4条线段,要构成梯形需满足一定条件,解题的关键是确定可能的上、下底.注给出4条线段不一定能构成梯形,需满足一定的条件,讨论的方法是通过平移腰,把问题转化为三角形的问题讨论,请读者思考,设为梯形的上、下底,c、为腰,那么a、b、c、d满足怎样的条件?【例3】(1)如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,E是梯形外一点,且EA=ED,求证:EB=EC(2)请你将(1)中的“等腰梯

3、形”改为另一种四边形,其余条件不变,使结论“EB=EC”仍然成立,再根据改编后的问题画图形,并说明理由.(黄冈市中考题)7用心爱心专心思路点拨要使“EB=EC”仍然成立,只需新的四边形与等腰梯形有一些共同的特征.【例4】如图,已知梯形ABCD中,BC∥AD,AD=3,BC=6,高=2,P是BC边上的一个动点,直线过P点,且m∥DC交梯形另外一边于E,若BP=x,梯形位于直线m左侧的图形面积为y(1)当3

4、梯形位于直线m左侧的图形形状也发生改变,故解本例的关键是分类讨论及梯形常用辅助线的添出.注削弱证明的难度,赋以点(或线)运动,在动态过程中解几何问题,这是近年中考试题中几何问题的一个显著特点,这类问题需要动态分材(以静制动,动中觅静).分类讨论、数形结合,给我们深入探究问题留下了广阔的空间,同时对我们能力的形成与提高提出了新的要求.【例5】如图,在等腰梯形ABCD中,CD∥AB,对角线AC、BD相交于O,∠AOD=120°,点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点.(1)判断△SPQ的形状并证明你的结论;(2)若AB=5,CD=3,求△PQS的面积;(3),求的值.思路点拨多

5、个中点给人以广泛的联想:等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.注等腰梯形连对角线后,就产生等腰三角形,当对角残互相垂直时,就得到等腰直角三角形,所以解等腰梯形有关问题时,需要综合运用特殊三角形的知识.学力训练1.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题:梯形个数l2345…图形周长58111417…当梯形个数为n时,这时图形的周长为.(2001年山东省临沂市中考题)2.在四边形ABCD中,AD=BC,AB=DC,AC与BD相交于点O,∠BOC=120°,AD=7,BD=10,则四边形ABCD的面积为.(杭州市中考题)3.如图,有两棵树,一棵树高8米,另一棵高2米

6、,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了米.(南昌市中考题)7用心爱心专心4.如图,在梯形ABCD中,AD=BC,AB=DC,∠D=120°,对角线CA平分∠BCD,且梯形的周长为20,则AC=,梯形ABCD的面积为.(北京市海淀区中考题)5.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E是AB的中点,若△DEC的面积为S,则四边形ABCD的面积为()A.B.2SC.D.6.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD=a,CD=b,则AB等于()A.B.C.a+bD.a+2b(荆门市中考题)7.四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,AF和DE

7、相交成直角,AG=3cm,DG=4㎝,平行四边形ABED的面积是36cm2,则四边形ABCD的周长为()A.49cmB.43cmC.41cmD.46cm(济南市中考题)8.课外活动课上,老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为450cm2,则作对角线所用的竹条至少需()A.30mB.30cmC.60㎝D.60m(黑龙江省中考题)9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD垂直相交于O,MN是梯形ABCD的中位线,∠DBC=30°,求证:AC=MN.10.如图,在等腰梯形

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