贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 08第八讲 由常量数学到变量数学 人教新课标版

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1、贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座08第八讲由常量数学到变量数学人教新课标版数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点

2、和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．(河南省竞赛题)思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．注：点的坐标是数与形结合的桥梁

3、，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的()思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高．注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．【例3】南方A市欲将一批容易变质的

4、水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度(千米／时)途中费用(元／千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．(1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出

5、费用最小?(湖北省黄冈市中考题)思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2，8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存

6、在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．(江苏省常州市中考题)思路点拨(1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，P

7、Q∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．(1)当AP＝3cm时，求的值；(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)思路点拨对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动导致图形

8、之间位置发生变化，需要分类讨论；(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标．(贵州省中考题)2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x