人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训37空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积含解析

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1、课后限时集训(三十七)　空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2018·合肥二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为(　　)A　　B　　　C　　DC　[过点E，F，G截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI，由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C选项，故选C.]2．(2019·山西六校联考)如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9cm，高为36cm.玻璃杯

2、内水深为33cm，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭．如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为(　　)A．900πcm2　　B．450πcm2C．800πcm2D．400πcm2A　[由题意，知球嵌入玻璃杯的高度h＝36－33＝3cm.设球的半径为R，则有R2＝92＋(R－3)2，解得R＝15cm，所以该球的表面积S＝4πR2＝900πcm2，故选A.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两

3、个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为(　　)A．1＋B．1＋2C．2＋D．2＋2C　[由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2××1×1＋2×××1＝2＋，故选C.]4．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)A.πB.πC．16πD．32πB　[设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B.]5．(2019·郑州模拟)已知点P，A，

4、B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，则三棱锥PABD体积的最大值是(　　)A.B.C.D.B　[设点P在平面ABC上的射影为G，如图，由PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，知点P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC的中点．设球的球心为O，连接PG，则O在PG的延长线上．连接OB，BG，设PG＝h，则OG＝2－h，所以OB2－OG2＝PB2－PG2，即4－(2－h)2＝4－h2，解得h＝1，则AG＝CG＝.设AD＝x，则GD＝x－AG＝x－，BG＝，所以BD＝＝，所以

5、S△ABD＝AD·BD＝.令f(x)＝－x4＋2x3，则f′(x)＝－4x3＋6x2.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝，易知当x＝时，函数f(x)取得最大值，所以(S△ABD)max＝×＝.又PG＝1，所以三棱锥PABD体积的最大值为××1＝，故选B.]二、填空题6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．2＋　[如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.图1　　　图2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝4

6、5°，∴BE＝.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.]7.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．　[正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为×()2×2＝.]8．(2017·

7、全国卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为________．36π　[如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥SABC的体积V＝×·OA＝，即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]三、解答题9．一个正三棱锥的底面边

8、长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．[解]　正三棱锥SABC如图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于点E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△A