2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第六章 第四节 数列求和 含答案

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1、第四节数列求和1．公式法(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋2n－1＝.2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常

2、用的裂项公式有：①＝－；②＝；③＝－.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．[小题体验]1．等比数列1,2,4,8，…中从第5项到第10项的和为________．解析：由a1＝1，a2＝2，得q＝2，∴S10＝＝1023，S4＝＝15，∴S10－S4＝1008.答案：10082．数列1，3，5，7，…，

3、(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．答案：n2＋1－3．已知数列的通项公式an＝，则该数列的前________项之和等于9.解析：由题意知，an＝＝－，所以Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9，解得n＝99.答案：991．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．[小题纠

4、偏]1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(3)＝________.答案：(87－1)2．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________.答案：(n－1)2n＋1＋23．求和：＋＋…＋＝________.解析：原式＝＋＋…＋＝1－.答案：1－　[题组练透]1．(2019·南师大附中月考)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少

5、织同样多的布，则此问题的答案是________日．解析：易知每日织布数量构成一个等差数列，设此数列为，则a1＝5，an＝1，Sn＝90，所以＝90，解得n＝30.答案：302．(2018·无锡期末)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．解析：设数列{an}的公比为q(q≠1)．由等比数列的性质可得a1a2a3＝a＝－，所以a2＝－.因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4＝a2＋a3，即2a2q2＝a2＋a2q，化简得2q2－q－1＝0，即

6、(q－1)(2q＋1)＝0，解得q＝－或q＝1(舍去)．又因为a1＝＝1，所以S4＝＝＝.答案：3．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得化简得解得故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.[谨记通法]几类可以使用公式法求和的数列(1

7、)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．　[典例引领](2018·天一中学检测)已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{an}前n项和Sn.解：(1)由a1＝3，得2p＋q＝3，①又由a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a

8、4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②解得p＝1，q＝1.(2)由(1)，知an＝2n＋n.所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝2n＋1－2＋.[由题悟法]分组转化法求和的常见类型[提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的