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《2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第八章 第七节 空间向量的综合应用 含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节空间向量的综合应用 [锁定考向]探索性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度．立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与平行相结合；(2)探索性问题与垂直相结合；(3)探索性问题与空间角相结合． [题点全练]角度一：探索性问题与平行相结合1.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD
2、？若存在，求的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(
3、0,1,0)，B(1,1,0)，C(2，0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．则＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)，＝(1,1，－1)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]，使得＝λ.因此点M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，当且仅当·
4、n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面BCD，此时＝.角度二：探索性问题与垂直相结合2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，PA⊥平面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)在棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空
5、间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，从而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)，设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，则即不妨取c＝2，则b＝1，a＝1，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)，则cos〈，n〉＝＝－，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设＝λ(0≤λ≤1)，则E(0,2λ，1－λ)，所以＝(－1,2λ－1,1－λ)，＝(0,2λ，1－λ)，由∠AEC＝90°，得·＝2λ(2λ－1)＋(1－
6、λ)2＝0，化简得，5λ2－4λ＋1＝0，该方程无解，所以在棱PD上不存在一点E满足∠AEC＝90°.角度三：探索性问题与空间角相结合3．(2019·苏州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且＝λ.(1)求证：平面ADM⊥平面PBC；(2)是否存在实数λ，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：取PB的中点N，连结MN，AN
7、，因为M是PC的中点，所以MN∥BC，MN＝BC＝2，又BC∥AD，所以MN∥AD，又因为MN＝AD，所以四边形ADMN为平行四边形，因为AP⊥AD，AB⊥AD，AB∩AP＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥AN，所以AN⊥MN，因为AP＝AB，所以AN⊥PB，又因为PB∩MN＝N，所以AN⊥平面PBC，因为AN⊂平面ADM，所以平面ADM⊥平面PBC.(2)存在符合条件的λ.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设BE＝t，则E(2，t,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0
8、,0)，从而＝(0,2，－2)，＝(2，t－2,0)，设平面PDE的法向量为n1＝(x，y，z)，则即令y＝z＝2，解得x＝2－t，所以n1＝(2－t,2,2)，又平面DEB即为平面xAy，故其一个法向量为n2＝(0,0,1)，则
9、cos〈n1，n2〉
10、＝＝＝，解得t＝2，可知λ＝1.[通法在握]解立体几何中探索性问题的方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；(2)若能推导出与条件吻合
