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《2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版板块命题点专练（十一）空间向量及其应用含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、板块命题点专练（十一）空间向量及其应用命题点 向量法求空间角及应用1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.所以PO＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又
2、因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0，2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝a，得z＝－a，x＝(a－4)，所以平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈，n〉＝.由已知
3、可得
4、cos〈，n〉
5、＝cos30°＝，所以＝，解得a＝或a＝－4(舍去)．所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.2.(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所
6、以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，，HP的方向分别为y轴，z轴正方向，
7、
8、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.3.(2018·浙江高考)如图，已知多面体A
9、BCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解：法一：(1)证明：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以A1B＋AB＝AA，故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2.由CC1⊥AC，
10、得AC1＝，所以AB＋B1C＝AC，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.因为AB1⊥平面A1B1C1，AB1⊂平面ABB1，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1.因为平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D⊥A1B1，C1D⊂平面A1B1C1，所以C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是直线AC1与平面ABB1所成的角．由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝，得cos∠C1A1B1＝，si
11、n∠C1A1B1＝，所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.法二：(1)证明：以AC的中点O为坐标原点，分别以射线OB，OC为x轴，y轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(0，，1)．因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0,2，－3)．由·＝0，得AB1⊥A1B1.由·＝0，得AB1⊥A1C1.又因为A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A
12、1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知＝(0,2，1)，＝(1，，0)，＝(0,0,2)．设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)，由得可取n＝(－，1,0)．所以sinθ＝
13、cos〈，n〉
14、＝＝.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.4．(2018·北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C
