2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题03导数及其应用理（含解析）

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1、专题03导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，【答案】D【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则

2、，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y

3、＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[

4、0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线

5、在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到

6、已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，即，考察函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【

7、名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然

8、后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设，则，.当时，单