锐角的三角比知识讲解

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1、.锐角的三角比知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．　锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

2、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即.同理；；；要点诠释：　　(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．　　(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠..A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AE

3、F”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、常写成、、、．　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．　　(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cot30°45°1160°要点诠释：　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．　　(2)仔细研究表中

4、数值的规律会发现：　　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：　　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)　　　②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．　　(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB,tanB=cot(90°-∠B)=cotA.　　(2)平方关系：；　　(3)倒数关系：或..；　　(4)商的关系：　　要点诠释：　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的

5、计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°．∵AB＝13，BC＝5．∴．∴，，，；，，，．【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，，若a=3，b=4，则，，，，．【答案】5，，，，．类型二、特殊角的三角函数值的计算..2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°；(2)；(3)．【答案与解析

6、】(1)原式；(2)原式；(3)原式．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，，若∠A=45°，则，，，，．【答案】45°，，，，．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角；(2)已知求锐角．　【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．　　　　　　　　　　∴锐角=30°..．　　　　(2)先将已知方程因式分解变形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，

7、解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地