解不等式＂或＂恒成立问题和＂且＂存在性问题的通法

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1、解不等式n或n恒成立问题和n且n存在性问题的通法袁建强(江苏省常熟市尚湖高级中学215500)我们在教学中经常会遇到各种恒成立问题和存在性问题，恒成立问题和存在性问题也是各种教研文章讨论的热门话题，同样存在着广大学生和教师比较困惑的问题.我在阅读文［1］和同行们交流.后深受启发，也来谈谈恒成立问题和存在性问题的解法,文［1］屮给出的类型2和类型3的结论存在错误.比如,文［1］中的结论1若f(x)>g(x)恒成立，则g(x)

2、/(兀)，.f(x)在定义域D内有解，贝l」GVg(Qnax或G>.f(兀)血•类型3”且“存在性问题若g(x)

3、得g(x)niin,/(x)max，则g(x)f(兀)(a<>/(%))在定义域D内恒成立，先解g(x)v/(x)(g(x)/(x)Ca/(x)max(a

4、n或d>/(x)max).若a/(x)(avg(x)或)在定义域D内恒成立，先解g(x)v/(x)得范围C,若函数/(x),g(x)在范围C内连续，在范围C内求得g(Qnin，/(Mnax，则。§g(兀)或。>/(兀)(。f(兀鳥(aVg(Qnin或。^/(X)max)・原则1恒成立问题中函数无最值的情况：若a

5、则a的取值范围为0).若a>f(x)(6/>/(%))在定义域内D恒成立，则a>f(x)的上确界.(如果/(兀)无上确界，则a的取值范围为0).原则2存在性问题中函数无最值的情况：若af(x)Ca>/(%))在定义域内D有解，则d>fx)的下确界.(如果/(兀)无下确界，则a的取值范围为R).说明(1)在类型3中，若函数/(x),g(x)在范围C内不连续，则可把/(x),g(x

6、)看成分段连续函数，则a的取值范围应为侮一分段上a的取值范围的并集.在类型4屮，若函数/(x)，gO)在范围C内不连续，则可把/(x),g(x)看成分段连续函数，则Q的取值范围应为每一分段上a的収值范围的交集.(2)类型1和类型2可以通过命题的否定相互转化，类型3和类型4也可以通过命题的否定相互转化.(3)在类型3中，若范围C为0,则a的取值范围为0.在类型4中，若范围C为0,则a的取值范围为R.(4)上述类型中，如涉及最值収不到的情况，可以用原则1和2的方法进行修改，或者可以对端点验证解决.(

7、5)对于类型1、2、3屮其他不等号的情况可以参照类型4,这里不再一一写明.(6)对于恒成立问题和存在性问题，要注意“或q恒成立”和“恒成立或Vx,q恒成立”不等价，“3x,p且q成立”和“p成立且玉,q成立”不等价.下而举例说明：例1(南通市四县市2007届高三联合考试21)：已知数列｛〜｝是由正整数组成的等比数列，s“是其前n项的和.(1)当首项绚=2,公比q=丄时，对于任意的正整数k及正数c(c<3)都有<2成立，求c的収值范围.(2)是否存在正整数m,使lg(.vrt-m)+lg(^/J+

8、2-m)=2lg(J+1-ni)成立？并证明你的结论.在此分析(1)的解答，(2)的解答从略.试卷给的参考答案：(1)由5,=4(1-4)得昭严丄吐+2,代入字工<2得22sk—cc>Sk或2对于任意正整数k恒成立，由单调性可知<4,即2<5a<4,C>4ngC<1,由0VcW3,故C的取值范围是0VCV1.3代入参考答案错误的原因是把“C>5,或c<-sk-2对于任意正整数k恒成立”误解为了“c>Sk对于任意正整数k恒成立或c<

9、^-2对于任意正整数k恒成立”.此题属于类型4,下面给出正确解