从分数的本质看小学数学教师的专业素养

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1、从分数的本质看小学数学教师的专业素养——数学教育热点问题系列访谈录随着时代的发展，尤其是随着课程改革的不断深入，小学数学教育领域发生了诸多改变，新的变化对小学数学教师专业素养提出了新的要求。其中，一个亟待解决的问题就是如何重新审视小学数学的内容及其本质。小学数学各部分内容的核心究竟是什么?哪些概念特别重要?为什么重要?……带着这些问题，我们和史宁中教授进行了畅谈。问：新时期需要小学数学教师具有较高的数学专业素养。如何提高自己的数学专业素养，这是广大小学数学教师十分关心的话题。史教授，作为关注小学数学教育发展的应用数学家、教育家，您如何看待这个问题?史教授：我们先从分数的数学含

2、义谈起。就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如，盘子的1/2与足球场的1/2，它们所代表的实际意义是不尽相同的，但是在讨沦分数时又是等价。但是，对于“等价”的使用一定要慎重，特别是对于与“记数”有关的事物。问：分数有时也表示成百分数，二者是等价的，但又有区别?您认为应该如何理解这个区别?史教授：以1/2为例。在通常情况下，1/2＝50％，二者是等价的，但是，二者的意义

3、并非完全相同，在很多情况下并不真正等价。如投篮球，连续投30次投中15次，与投2次投中1次，这两种情况的命中率虽然都是50％，但是给人的直观感觉是不一样的。前者的命中率显得更稳定一些，而后者可能是偶然的。问：我们注意到，分数有比的含义。您如何看待这里的比与数学上的比以及现实生活中的比这三者之间的区别？史教授：1/2虽然等于1：2，但二者的意义有所不同，不能混为一谈。在小学数学中，对于以比例形式出现的分数，在计算加法时更要十分慎重，有时候用加法计算后的结果可能与原意不符。比如，甲乙两个队踢足球，第一场2：3，第二场1：2，如何描述总的结果呢?如果用分数加法计算，结果为2/3+1

4、/2=7/6，这显然是不合常理的。在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。对于上述的这个例子2+1/3+2还是比较较合理的。下面的例子更为明显：在某种药物的临床试验中，试验人员对一批患者进行了疗效跟踪调查。其中，男性患者50名，有疗效的23人；女性患者50人，有疗效的27人。此时，男性有效率为46％，女性的有效率为54％。现在需要描述总体疗效，总的有效率只能是50％。在小学数学统计内容的教学中，可能会涉及像上例这样的问题。作为小学数学教师，不仅需要了解数的运算，还需要与实际生活联系起来，了解数的本质和运算的意义。在教学过程中，当学生提出类似的问题时

5、，教师应当思考其中是否有合理的成分，是否有生活的背紧，而不能一味地否定学生的“怪想法”。问：分数的无量纲性是国内外首次出现的新观点，您能否进一步说明一下它的重要性?史教授：分数无量纲性的意义在于能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，有时候对于数学活动，特别是对于数学建模来说是非常重要的。比如一个小国的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP而得到GDP指数或者恩格尔系数，就可以进行相互间的比较了。(注：GDP即国内生产总值。人均GDP是衡量—个阔家富有程度的重要标志，通常也用GDP指

6、数。恩格尔系数是指家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收人之比。对—个国家而言，这个国家越穷，其恩格尔系数就越高；反之，这个国家越富，其恩格尔系数就越低)问：从分数的无量纲性，我们可以更清楚地把握小学分数教与学的侧重点。那么，就整个小学数学而言，您认为，小学数学的核心问题是什么?或者说，小学数学的核心目标是什么?史教授：现代数学的研究对象主要涉及度量和非度量。在小学数学中，数是度量的基础，而图形是非度量的具体体现。对于数而言，重要的在于对数的本质的理解和感觉(即《标准》上所讲的“数感”)。我理解，数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。思考这个问题可以追溯到动

7、物的感知。比如说—条狗，它可能敢与一匹狼争斗，但如果有两匹狼它就会害怕，如果面对一群狼它就会逃跑。这说明动物也知道“多与少”。我曾经查过一本书，书上的故事说明动物有明确的“多与少”的感知。1938年出版的《数：科学的语言》(丹齐克著，苏仲湘译)一书中记载了这样一件事：一只乌鸦在一家庄园的望楼顶上建厂个鸟巢，庄园主对此很生气，决心杀死这只乌鸦。可是，每当庄园主走进望楼，乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主想了一个办法，他找来—个朋友，两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦，但是乌鸦