初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

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1、第二十一讲从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c(斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：(1)；(2)．请读

2、者给出证【例题求解】【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·PC为定值；④FA为∠NPD的平分线

3、，其中一定成立的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．7【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．(全国初中数学联赛试题)思路点拨连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．【例4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥B

4、C，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．(1)问∠BOZ能否为120°，并简要说明理由；(2)证明△AOF∽△EDF，且；(3)求DF的长．思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程．注：如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：(1)以边AB为直径的圆与边CD相切；(2)以边CD为直径的圆与边AB相切

5、．类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：(1)O1O⊥CO2；(2)OC=O1O2．(武汉市选拔赛试题)思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明

6、两线段相等．7学力训练1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=cm．2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心的坐标是．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=．4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于()A．B．C．D．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆

7、O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为()A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是()A．点O是△DEF的外心B．∠AFE=(∠B+∠C)C．∠BOC=90°+∠AD．∠DFE=90°一∠B7．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO．(1)求证：△ABO∽△OCD；(2)若AB、CD是关于x的方程的两个实数根，且S△A

8、BO+S△OCD=20，求m的值．78．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．(1)若BC=，CD=1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是⊙O的切线