函数高考放缩研究

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1、函数高考放缩研究2015.7.82009山东理科21.(本小题满分12分)已知函数/(%)=——J——+aln(兀一1)，其中xeN",G为常数.(1-xf(II)当a=l时，证明：对任意的正整数n,当刃三2时，有—1.解：21.(II)证法一：因为«=1,所以/(%)=—J—+ln(x-l).(1-创当“为偶数时，令—-占-ln(_l),则gX)=1+(x-irx-2+x—1nu-ir+,>0(尢22)•所以当XG[2,+oo)时,g(兀)单调递增,乂g(2)=0,因此时)*1-聞一ln(x一1)3g⑵=0

2、恒成立,所以于(兀)W兀一1成立.当兀为奇数时，要证/(x)^x-l,由于一*—<0,所以只需证ln(x-l)^x-l,(1-兀)“1x-2令/?(兀)=x-l-ln(x-l),则//(x)=1=三0(兀$2),x-1x-l所以当xg[2,+oo)吋，/z(x)=x-l-ln(x-l)单调递增，乂/z(2)=l>0,所以当兀三2时，恒有/?(%)>0,即ln(x-l)

3、(1-xf故只需证明1+ln(x-l)Wx-l.^h(x)=%-l-(l+ln(x-l))=x-2-ln(x-l),xe[2,+8),iy—2则/Z(x)=1=——，当兀三2时，//(%)0,故力(兀)在[2,+oo)上单调递增，x-x-因此当兀$2时，/?(x)^/z(2)=0,即l+ln(x—l)Wx-l成立.故当心2吋,有占+lnW即gWZ.法一中的放缩：当〃为奇数时，要证—1,由于丁+vO,所以只需证ln(x-l)^x-l,法二中的放缩：当&2时，对任意的正整如恒有占勺,已知函数/(x)=伙为常数，

4、e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(Q在点(1,/(1))处的切线与兀轴平行.e(文皿)设^(x)=xf'(x),其中/'(兀)为/(x)的导函数.证明：对任意x>0,g(x)<1+e-2.(理III)设g(x)=(x2+x)广(x),其屮广⑴为/(兀)的导函数.证明：对任意x>0,^(x)1,且g(兀)>0,g(x)=-~卫学一-

5、lnx-x.此处进行放缩,Ovxvl,=>丄vle/设尸(兀)=1一兀In兀一兀,xe(0,1),则Fx)=-(Inx+2),当xe(0,e-2)时,F'(x)>0,当兀w(e~,l)吋，Ff(x)<0,所以当x=c-2吋，F(x)収得最大值F(e~2)=1+r.所以g(x)0,g(x)

6、错：g(x)=1-xlnx-x中的1-xlnx-x是最大的“麻烦制造ex者”，因此对这个“麻烦制造者”进行放缩，解决了他估计就好办了。如：当0vxv1时，^h(x)=1-xinx-x^hx)=-(ln兀+2),不难求得h(x)llht,g(x)=(x2+x)广(兀)WOVl+r,故只需证明ggvl+r在0<兀cl时成立.当Ovxvl时，

7、e'>1,且g(x)>0,・・・g&)=(卄1)(1-皿兀7)<1_xinx_x.……此处进行放缩，ov兀v1戶也v1exex设F(x)=l—xln兀一兀，*(0,1),贝ijFx)=-(Inx+2),当xg(0,e-2)时，Fx)>0,当兀w(/,l)时，，Fx)<0,所以当x=e-2时,F(jc)取得最大值F02)=i+c-2.所以g(兀)vFgQ+r.综上，对任意x>0,g(Qvl+c3这种方式可以称作：“先方缩后拔刺”研究：第三问综合的考察了分类整合、转化化归、函数与方程等思想，其中通过放缩将导数

8、难处理的函数变成导数好处理的函数是难点。其放缩方式还有一种也不错：g(x)=S+l)(l-E7)中的1-xlnx-x是最大的“麻ex烦制造者”，因此对这个“麻烦制造者”进行放缩，解决了他估计就好办了。如：当0<兀<1时，^h(x)=1-xinx-xJhx)=-(ln兀+2),不难求得h(x)