长沙理工大学12级离散结构试卷A卷答案

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1、试卷编号A拟题教研室(或教师)签名教研室主任签名长沙理工大学考试试卷答案课程名称(含档次)离散结构(必修考试)课程代号专业软件工程层次(本、专)本科考试方式(开、闭卷)闭卷1、求下面公式的主析取范式和主合取范式：(每小题5分，共10分)(1)(pM卜F(2)(pTq)/(qT“解：(1)(p/q)vr<^(/?A(rv-ir))v(rA(pv-ip))o(paar)v(paa—ir)v(rap卜(ra—ip)0(p/q/r)v(p/q/—)r)v(rapa(qv—i^))v(ra—ypa(^v—i^))(pAr)v(pa—i

2、r)v(raA(/)v(rapa—q)v(ra—i/7a^)v(ra—i/7a—i<7)<=^(/?aar)v(paa—ir)v(pa—qar)v(—ipaar)v(—1/7a—iqar)m7vm6vm5v/n3vm1<=>v眈3vm5vm6vm7<=>M°aM2aM4主析取范式为：加］vm3v加5V77t6vm7主合取范式为：A/oaA/2aM4(2)(pTq)八(qTr)OJpvq)八匕qyr)0(—pvv(ra—)r))a(—iqvrv(/?a「〃))O(—1。vvr)a(—1/7vqv—ir)a(—iqvrv/?)a(—i

3、qvrv—i”)o(「Pvvr)a(—1〃vqv—ir)a(pv—iqvr)a(—1/7v—qvr)0M4aM5aM2aM6<=>M2aM4aM5aM6o/n0v/®vm3vm7主析取范式为:叫v加1Vm3vm7主合取范式为：M2aM4aA/5aA/62、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：F7F,—1VS,P“结论：fT(厂A5)(10分)解：公式和规则说明各占一半分。[i]PM前提引入⑵P[i]化简[3]<7[i]化简[4]-iPvr前提引入⑸厂[2][4]析取三段论⑹rq7S前提引入⑺S[3][6]析取三段论⑻丫NS⑸⑺

4、合取[9]—1^v(rAs)[8]附加规则[io]tT(rns)[9]置换3、设个体域D=[a,b,c}9消去下列各式的量词：（每小题4分，共8分）（1）Vx（F（x）v3yG（^））⑵3xVyF（x?y）解：（1）Vx（F（x）v3yG（y））<=>VxF（x）v3yG（y）o（F（«）aF（Z?）aF（c））v（G（a）vG⑹vG（c））⑵3x/yF（x,y）o3x（F（x,a）AF（x,b）AF（兀,c））<=>（F（Q,o）人F（a,b）AF（a9c））v（F（b，a）/F（b,b）/F（b，c））v（F（c,a）aF（c

5、,b）/F（c，c））4、在自然推理系统F中，构造下面推理的证明（个体域为实数集合）：（10分）不存在能表示成分数的无理数.有理数都能表示成分数.因此，有理数都不是无理数.解：设F（x）:兀为无理数，G（x）：x为有理数，H（x）：%能表示成分数.前提：一3x（F（x）人H（x））,Vx（G（x）tH（x））结论：Vx（G（x）T—iF（%））证明：[1]—)Hx(F(x)a//(x))⑵Vx(―F(x)7—H(x))[3]Vx(F(x)^-1H(x))[4]F(x)—前提引入[1]置换[2]置换⑶V-⑸X/x(G(x)tH(x))

6、前提引入⑹G(x)tH(兀)⑸V—[4]置换[6][7]假言三段论⑻V+[7]H（x）t-1F（X）⑻G（x）T—iF（x）[9]/x（G（x）—>—iF（x））5、设4,B,C为任意集合，证明：(每小题5分，共1()分)(1)(A—B)—C二人一(BUC)(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：(1)(A-B)-C=(A-B)A~C=(An~B)n~C二AD(〜亦〜C)=AA〜(BUC)=4-(BUC)(2)(A-C)-(B-C)=(An〜C)-(BA~c)=(Ap〜c)n~(BA〜c)=(Ap〜C)n(〜BUC)=(AR

7、〜CPI〜B)U(ACl〜cnc)=的〜〜c=(4“〜b)d〜c=3n〜b)-c=g4-b)-c故(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、在1到300的整数中(1和300包含在内)分别求满足以下条件的整数个数：(12分)(1)不能被3和5,也不能被7整除。(2)可以被3或5整除，但不能被7整除。(3)只被3,5和7之中的一个数整除。解：设A表示1到300的整数中能被3整除的数的集合，B表示1到300的整数中能被5整除的数的集合，C表示1到300的整数中能被7整除的数的集合。不能被3和5,也不能被7整除的数的个数为30()・(68+34

8、+22).(18+2+12+6)=138可以被3或5整除，但不能被7整除的数的个数为68+18+34二120只被3,5和7之中的一个数整除的数的个数为68+22+34=1247、设A={1,2,3},下图给