专题六 二次函数综合题 类型一 点问题

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1、专题六　二次函数综合题考情分析：2017.25；2016年4考；2015年5考．考查背景有：二次函数、二次函数与一次函数结合、二次函数与圆结合．涉及的变换有动点问题、图形平移问题．类型一　点问题例1　(2017·河南)如图，直线y＝－x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似

2、，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“和谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．例1题图　　备用图【思路点拨】(1)将A点坐标代入一次函数解析式可得点C，通过一次函数解析式可得点B坐标，将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可；(2)∠BPN与∠APM恒相等，则需分两种情况讨论即可；(3)分点P，M，N分别为“共谐点”时分类讨论．解：(1)∵直线y＝－x＋c过A(3，0)，∴将点A代入得－×3＋c＝0，解

3、得c＝2，∴直线AB的表达式为y＝－x＋2，∴B(0，2)．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(0，2)，∴将A，B两点代入有，解得∴y＝－x2＋x＋2；(2)依题可知：M(m，0)，∵NM⊥x轴交直线y＝－x＋2于点P，交抛物线y＝－x2＋x＋2于点N，∴N(m，－m2＋m＋2)，P(m，－m＋2)．∵△APM相似于△BPN，①当△APM∽△BPN时，则∠AMP＝∠BNP＝90°，∴BN∥x轴，∴B，N的纵坐标相同，都为2，∴－m2＋m＋2＝2，解得：m1＝0，m2＝.∵当m＝0时，P，N与B重合

4、，∴△BPN不存在，故舍去．∴M(，0)；②当△APM∽△NPB时，则∠BNP＝∠MAP，如解图，过点B作BH⊥MN于点H，则H(m，2)，例1题解图∵∠BNP＝∠MAP，∴tan∠BNP＝tan∠MAP，∴即＝＝，∴＝，解得：m1＝0(舍去)，m2＝，∴M(，0)，∴点M的坐标为(，0)或(，0)；(3)或－或－1.【解法提示】①当点P为“共谐点”的中点时，则一次函数图象在抛物线与x轴之间，∵点N(m，－m2＋m＋2)，P(m，－m＋2)，由“共谐点”的定义得：＝－m＋2，解得m1＝，m2＝3(舍去，此时点P，

5、M，N重合)；②点M为“共谐点”的中点时，则x轴在一次函数图象与抛物线之间，由“共谐点”的定义得：＝0，解得m1＝－1，m2＝3(舍去，此时点P，M，N重合)；③当点N为“共谐点”的中点时，则抛物线在一次函数图象与x轴之间，由“共谐点”的定义得：＝－m2＋m＋2，解得m1＝－，m2＝3(舍去，此时点P，M，N重点)．故当m为或－或－1时，点M，P，N三点成为“共谐点”．【针对练习】1．(2017·连云港)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连接

6、AB、AC、BC.第1题图(1)求此二次函数的关系式；(2)判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；(3)若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．解：(1)二次函数的关系式为y＝x2－x＋3；(2)△ABC为直角三角形．如解图，过点B作BD⊥x轴于点D，由(1)知点C坐标为(0，3)，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°

7、，又B(4，1)，∴AD＝BD，∴∠BAD＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC为直角三角形，圆心M的坐标为(2，2)；第1题解图(3)存在．如解图，取BC中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为(2，2)，∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为2－或2＋.∵∠BAD＝45°.∴抛物线的顶点向左、向下均平移＝个单位长度或＝个单位长度．∵y＝x2－x＋3＝(x－)2－.∴平移后

8、抛物线的关系式为y＝(x－＋)2－－，即y＝(x－)2－，或y＝(x－＋)2－－，即y＝(x－)2－.综上所述，存在一个位置，使⊙M经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝(x－)2－或y＝(x－)2－.第2题图2．(2017·山西)如图，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A