专题02 数的整除性(含答案)

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1、专题02数的整除性阅读与思考设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作

2、，又称为的约数，而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数的个位数是偶数，则2

3、；②若整数的个位数是0或5，则5

4、；③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3

5、(或9

6、)；④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4

7、(或25

8、)；⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8

9、(或125

10、)；⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11

11、．2．整除的基本性质设，，都是整数，有：①若

12、，

13、，则

14、；②若

15、，

16、，则

17、(±)

18、；③若

19、，

20、，则[，]

21、；④若

22、，

23、，且与互质，则

24、；⑤若

25、，且与互质，则

26、．特别地，若质数

27、，则必有

28、或

29、．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中()A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论

30、证明．【例3】已知整数能被198整除，求，的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相

31、同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足

32、－

33、=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．⑴写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．(2

34、013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，从经过1999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4

35、(－1)

36、．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A．532B．665C．133D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()A．1B．2C．3D．6(江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A．12个B．18个C．20个

37、D．30个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数被2，